Теорія матриць для школярів : Використання визначників матриць в геометрії

Рівняння прямої, що проходить через точки площині з координатами (X_1, y_1)

:
$\ Left | \ begin {array} {ccc} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \ end {array} \ right | = 0.$

Рівняння кола, що проходить через точки площині з координатами (X_1, y_1), (x_2, y_2)

, і

$\ Left | \ begin {array} {cccc} x ^ 2 + y ^ 2 & x & y & 1 \\ x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2 & x_3 & y_3 & 1 \ end {array} \ right | = 0.$

За умови, що всі три точки лежать на одній прямій:

$\ Left | \ begin {array} {ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \ end {array} \ right | = 0$

окружність вироджується в пряму

$\ Left | \ begin {array} {cccc} 0 & x & y & 1 \\ x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2 & x_3 & y_3 & 1 \ end {array} \ right | = 0.$

Рівняння площини, що проходить через точку (X_0, y_0, z_0)

паралельно векторах ${\ Bf a} = (a_1, a_2, a_3)$ і ${\ Bf b} = (b_1, b_2, b_3)$ :

$\ Left | \ begin {array} {ccc} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \ end {array} \ right | = 0 .$

Зауваження. Сформульовані геометричні завдання є окремими випадками загального завдання про інтерполяції.

Визначення. Визначником Грама векторів ${\ Bf a} _1, {\ bf a} _2, \ ldots, {\ bf a} _n$ евклідового простору $\ Mathbb {E} ^ n$ називається визначник

$G ({\ bf a} _1, \ dots, {\ bf a} _n) = \ left | \ begin {array} {cccc} ({\ bf a} _1, {\ bf a} _1) & ({\ bf a} _1, {\ bf a} _2) & \ ldots & ({\ bf a} _1, {\ bf a} _n) \\ ({\ bf a} _2, {\ bf a} _1) & ({\ bf a} _2, {\ bf a} _2) & \ ldots & ({\ bf a} _2, {\ bf a} _n) \\ \ ldots &&& \\ ({\ bf a} _n, {\ bf a} _1) & ({\ bf a} _n, {\ bf a} _2) & \ ldots & ({\ bf a } _n, {\ bf a} _n) \ end {array} \ right |.$

Теорема. Відстань

від точки, заданої вектором ${\ Bf x}$ , до лінійного різноманіття ${\ Cal P} = {\ bf x} _0 + {\ cal L}$ , де ${\ Cal L}$ - лінійний простір з базисом ${\ Bf a} _1, \ ldots, {\ bf a} _k$ , знаходиться за формулою

$\ Displaystyle d ^ 2 = \ frac {G ({\ bf a} _1, \ dots, {\ bf a} _k, {\ bf x} - {\ bf x} _0)} {G ({\ bf a} _1, {\ bf a} _2, \ ldots, {\ bf a} _k)}.$

Доведення. Покладемо ${\ Bf x} - {\ bf x} _0 = {\ bf y} + {\ bf z}$ , де ${\ Bf y} \ in {\ cal L}$ , ${\ Bf z} \ in {\ cal L} ^ *$ . Тоді $d ^ 2 = ({\ bf z}, {\ bf z})$ .

Нехай ${\ Bf y} = \ lambda_1 {\ bf a} _1 + \ lambda_2 {\ bf a} _2 + \ ldots + \ lambda_k {\ bf a} _k$ . З останнього стовпчика визначника $G ({\ bf a} _1, {\ bf a} _2, \ ldots, {\ bf a} _k, {\ bf x} - {\ bf x} _0)$ віднімемо попередні стовпці, помножені відповідно на $\ Lambda_1, \ lambda_2, \ dots, \ lambda_k$ . На місці $({\ Bf a} _i, {\ bf x} - {\ bf x} _0)$ вийде нуль, а на місці $({\ Bf x} - {\ bf x} _0, {\ bf x} - {\ bf x} _0)$ буде $({\ Bf x} - {\ bf x} _0, {\ bf z}) = ({\ bf z}, {\ bf z})$ .

Визначення. Обсяг

мірного паралелепіпеда, побудованого на лінійно незалежних векторах ${\ Bf a} _1, {\ bf a} _2, \ ldots, {\ bf a} _n$ евклидова простору $\ Mathbb {E} ^ m$ визначається індуктивно умовами:

1) $V ({\ bf a} _1) = | {\ bf a} _1 |$ ;

2) $V ({\ bf a} _1, {\ bf a} _2, \ ldots, {\ bf a} _n) = V ({\ bf a} _1, \ ldots, {\ bf a} _ { n-1}) \ cdot h_n$ , де h_n

- довжина ортогональної складової вектора ${\ Bf a} _n$ щодо лінійного простору, натягнутого на вектори ${\ Bf a} _1, {\ bf a} _2, \ ldots, {\ bf a} _ {n-1}$ .

Теорема.

$V ({\ bf a} _1, \ ldots, {\ bf a} _n) = \ sqrt {G ({\ bf a} _1, \ ldots, {\ bf a} _n)} = \ sqrt {DD ^ T},$

де

$D = \ left (\ begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1m} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2m } \\ \ ldots &&& \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nm} \ end {array} \ right),$

${\ Bf a} _1 = (a_ {11}, a_ {12}, \ ldots, a_ {1m}), \ ldots, {\ bf a} _n = (a_ {n1}, a_ {n2 }, \ ldots, a_ {nm}),$

і координати векторів дані в деякому ортонормированном базисі евклидова простору $\ Mathbb {E} ^ m$ .

Доведення. За індукції. База вірна. По теоремі про відстані знайдемо h_n

$\ Displaystyle h_n ^ 2 = \ frac {G ({\ bf a} _1, \ ldots, {\ bf a} _ {n-1}, {\ bf a} _n)} {G ({\ bf a} _1 , {\ bf a} _2, \ ldots, {\ bf a} _ {n-1})}.$

Підставами отриманий вираз в формулу

$V ({\ bf a} _1, {\ bf a} _2, \ ldots, {\ bf a} _n) = V ({\ bf a} _1, \ ldots, {\ bf a} _ { n-1}) \ cdot h_n$

і за допомогою індукційного припущення отримаємо
першу частину твердження.

Для доказу другої частини зауважимо, що в ортонормированном базисі скалярний твір

$({\ Bf x}, {\ bf y}) = x_1y_1 + x_2y_2 + \ ldots + x_my_m,$

якщо ${\ Bf x} = (x_1, \ ldots, x_m)$ , ${\ Bf y} = (y_1, \ ldots, y_m)$ . тоді

$\ Left (\ begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1m} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2m} \ \ \ ldots &&& \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nm} \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {21} & \ ldots & a_ {n1} \\ a_ {12} & a_ {22} & \ ldots & a_ {n2} \\ \ ldots &&& \\ a_ {1m} & a_ {2m} & \ ldots & a_ {nm} \ end {array} \ right) = G ({\ bf a} _1, {\ bf a} _2, \ ldots, {\ bf a} _n),$

звідки і слід необхідне.

Зауваження. На підставі властивостей визначника Грама, вираз під знаком квадратного кореня завжди неотрицательно.

Приклад 1. Площа паралелограма на площині, натягнутого на вектори (X_1, y_1)

дорівнює абсолютній величині (модулю) визначника

$\ Left | \ begin {array} {cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \ end {array} \ right |.$

2. Площа паралелограма в просторі, натягнутого на вектори (X_1, y_1, z_1)

дорівнює

$\ Arraycolsep = 1mm \ sqrt {\ det \ left [\ left (\ begin {array} {ccc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \ end {array} \ right) \ cdot \ left ( \ begin {array} {cc} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2 \ end {array} \ right) \ right]} = \ sqrt { \ left | \ begin {array} {cc} x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2 & x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \\ x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 & x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 + z_2 ^ 2 \ end {array} \ right |}.$

3. Площа трикутника з вершинами (X_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)

як половина площі паралелограма дорівнює абсолютній величині (модулю) вираження

$\ Displaystyle \ frac {1} {2} \ left | \ begin {array} {ccc} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \ end {array} \ right | = \ frac {1} {2} \ left | \ begin {array} {cc} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \ end {array} \ right | .$

4. Площа

-угольніка $P_0P_1 \ ldots P_ {n-1}$ з вершинами $P_0 (x_0, y_0), \ ldots, P_ {n-1} (x_ {n-1}, y_ {n-1})$ дорівнює абсолютній величині (модулю) вираження

$\ Displaystyle \ frac {1} {2} \ sum_ {k = 1} ^ {n-2} \ left | \ begin {array} {ccc} 1 & x_0 & y_0 \\ 1 & x_k & y_k \\ 1 & x_ {k + 1} & y_ {k + 1} \ end {array} \ right |.$

за умови, що сторони не перетинаються.

Слідство 1. Обсяг тетраедра, побудованого на векторах ${\ Bf a}, {\ bf b}, {\ bf c},$ дорівнює $\ Displaystyle \ frac {1} {6}$ обсягу паралелепіпеда, побудованого на цих же векторах. Звідси обсяг тетраедра з вершинами (X_1, y_1, z_1)

дорівнює абсолютній величині (модулю) вираження

$\ Displaystyle \ frac {1} {6} \ left | \ begin {array} {ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ x_4-x_1 & y_4-y_1 & z_4-z_1 \ end {array} \ right | = \ frac {1} {6} \ left | \ begin {array} {cccc} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \ \ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \ end {array} \ right |.$

Слідство 2. Відстань між перехресними прямими з параметричними рівняннями $\ Vec {r} = \ vec {r} _1 + \ vec {a} _1t$ і $\ Vec {r} = \ vec {r} _2 + \ vec {a} _2t$ . Побудуємо паралелепіпед зі сторонами $\ Vec {r} _1- \ vec {r} _2$ , $\ Vec {a} _1$ і $\ Vec {a} _2$ . Тоді шукане відстань - висота цього паралелепіпеда.

$\ Displaystyle \ rho = \ frac {V} {S} = \ frac {| (\ vec {a} _1, \ vec {a} _2, \ vec {r} _1- \ vec {r} _2 ) |} {| [\ Vec {a} _1, \ vec {a} _2] |} = \ frac {\ left | \ det \ left (\ begin {array} {ccc} x_1-x_2 & y_1-y_2 & z_1-z_2 \\ \ alpha_1 & \ beta_1 & \ gamma_1 \\ \ alpha_2 & \ beta_2 & \ gamma_2 \ end {array} \ right) \ right |} {\ sqrt {\ left | \ begin {array} {cc} \ beta_1 & \ gamma_1 \\ \ beta_2 & \ gamma_2 \ end {array} \ right | ^ 2 + \ left | \ begin {array} {cc} \ gamma_1 & \ alpha_1 \\ \ gamma_2 & \ alpha_2 \ end {array} \ right | ^ 2 + \ left | \ begin {array} {cc} \ alpha_1 & \ beta_1 \ \ \ alpha_2 & \ beta_2 \ end {array} \ right | ^ 2}} =$

$= \ Frac {\ left | \ det \ left (\ begin {array} {ccc} x_1-x_2 & y_1-y_2 & z_1-z_2 \\ \ alpha_1 & \ beta_1 & \ gamma_1 \\ \ alpha_2 & \ beta_2 & \ gamma_2 \ end {array} \ right) \ right |} {\ sqrt {\ det \ left [\ left (\ begin {array} {ccc} \ alpha_1 & \ beta_1 & \ gamma_1 \\ \ alpha_2 & \ beta_2 & \ gamma_2 \ end {array} \ right) \ cdot \ left ( \ begin {array} {cc} \ alpha_1 & \ alpha_2 \\ \ beta_1 & \ beta_2 \\ \ gamma_1 & \ gamma_2 \ end {array} \ right) \ right]}}.$

Слідство 3. Відстань від точки з радіус-вектором $\ Vec {r} _1$ до прямої з параметричних рівнянням $\ Vec {r} = \ vec {r} _0 + \ vec {a} t$ . Побудуємо паралелограм зі сторонами $\ Vec {r} _1- \ vec {r} _0 $ і $ \ vec {a}$ . Тоді шукане відстань - висота цього паралелограма.

$\ Begin {array} {l} \ displaystyle \ rho = \ frac {S} {| \ vec {a} |} = \ frac {| [\ vec {r} _1- \ vec {r} _0, \ vec {a}] |} {| \ vec {a} |} = \\ [5mm] \ displaystyle = \ frac {\ sqrt {\ left | \ begin {array} { cc} y_1-y_0 & z_1-z_0 \\ \ beta & \ gamma \ end {array} \ right | ^ 2 + \ left | \ begin {array} {cc} z_1-z_0 & x_1-x_0 \\ \ gamma & \ alpha \ end {array} \ right | ^ 2 + \ left | \ begin {array} {cc} x_1-x_0 & y_1- y_0 \\ \ alpha & \ beta \ end {array} \ right | ^ 2}} {\ sqrt {\ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 + \ gamma ^ 2}}. \ end {array}$

Теорема. Обсяг

мірного паралелепіпеда, обмеженого площинами

$a_ {j1} x_1 + a_ {j2} x_2 + \ ldots + a_ {jn} x_n = \ pm h_j, \ quad h_j \ ge0, \ j \ in \ {1,2, \ ldots, n \}$

дорівнює

$\ Displaystyle V = \ frac {2 ^ nh_1h_2 \ ldots h_n} {\ det [a_ {jk}] _ {j, k = 1} ^ n}.$

Доведення. Очевидно, що початок координат знаходиться в точці перетину діагоналей паралелепіпеда. Виберемо

вершин паралелепіпеда таким чином, щоб

$\ Arraycolsep = 1mm \ left (\ begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22 } & \ ldots & a_ {2n} \\ \ ldots &&& \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {array} \ right) \ left ( \ begin {array} {cccc} x_ {11} & x_ {21} & \ ldots & x_ {n1} \\ x_ {12} & x_ {22} & \ ldots & x_ {n2} \\ \ ldots &&& \\ x_ {n1} & x_ {n2} & \ ldots & x_ {nn} \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {crrcr} h_1 & -h_1 & -h_1 & \ ldots & -h_1 \\ h_2 & h_2 & -h_2 & \ ldots & -h_2 \\ \ ldots &&&& \\ h_n & h_n & h_n & \ ldots & h_n \ end {array} \ right).$

Тут $(X_ {11}, x_ {12}, \ ldots, x_ {n2}), \ ldots$ , $(X_ {n1}, x_ {n2}, \ ldots, x_ {nn})$ - координати вершин. Це можливо, тому що маємо 2 ^ n

систем лінійних рівнянь з однією і тією ж матрицею

, вибираємо з них

Обсяг паралелепіпеда знайдемо, скориставшись попередньої теоремою. Для цього перейдемо в систему координат з початком в вершині, яка визначається системою рівнянь

$a_ {j1} x_1 + a_ {j2} x_2 + \ ldots + a_ {jn} x_n = -h_j, \ j \ in \ {1,2, \ ldots, n \}.$

У цій системі координат складемо матрицю з координат

обраних вершин:

$X = \ left (\ begin {array} {cccc} 2x_ {11} & x_ {21} + x_ {11} & \ ldots & x_ {n1} + x_ {11} \\ 2x_ {12 } & x_ {22} + x_ {12} & \ ldots & x_ {n2} + x_ {12} \\ \ ldots &&& \\ 2x_ {1n} & x_ {2n} + x_ {1n} & \ ldots & x_ {nn} + x_ {1n} \ end {array} \ right).$

Домножим матрицю

зліва на

, отримаємо

$AX = \ left (\ begin {array} {ccccc} 2h_1 & 0 & 0 & \ ldots & 0 \\ 2h_2 & 2h_2 & 0 & \ ldots & 0 \\ 2h_3 & 2h_3 & 2h_3 & \ ldots & 0 \\ \ ldots &&&& \\ 2h_n & 2h_n & 2h_n & \ ldots & 2h_n \ end {array} \ right).$

Перейдемо в цій рівності до определителям, отримаємо, враховуючи, що | X | = V

$| A | V = 2 ^ nh_1h_2 \ ldots h_n,$

що і доводить твердження теореми.

Теорема. Обсяг

мірного еліпсоїда, обмеженого поверхнею

$(X_1, x_2, \ ldots, x_n) \ left (\ begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\ \ ldots &&& \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {c} x_1 \\ x_2 \\ \ ldots \\ x_n \ end {array} \ right) = 1$

(Квадратична форма, що стоїть в лівій частині, позитивно визначена) дорівнює

$\ Displaystyle \ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma \ left (\ frac {n} {2} +1 \ right)} \ frac {1} {\ sqrt {\ det [a_ {jk} ] _ {j, k = 1} ^ n}}.$

Тут $\ Gamma$ позначає гамма-функцію:

$\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot n} {z (z + 1) \ ldots (z + n)} n ^ z.$

Якщо речова частина числа

позитивна, то можна також користуватися формулою

$\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ int_0 ^ {\ infty} x ^ {z-1} e ^ {- x} dx$

(Ейлерів інтеграл 2-го роду).

При обчисленнях значень $\ Gamma$ -функції в останній формулі досить користуватися наступними її властивостями:

$\ Displaystyle \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} \ right) = \ sqrt {\ pi}, \ Gamma (1) = \ Gamma (2) = 1, \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x) \ \ forall x> 0,$

$\ Gamma (n + 1) = n! \ \ Forall n \ in \ mathbb {N}.$

Доведення. Доведемо спочатку цю формулу для

мірного кулі. Подібне перетворення тіла в

вимірному просторі призводить до зміни обсягу, пропорційне

го ступеня коефіцієнта подібності. Для паралелепіпеда це безпосередньо випливає з формули для об'єму, а для всякого іншого тіла обсяг є межа суми обсягів паралелепіпедів. Отже, обсяг V_n (R)

мірного кулі радіуса

дорівнює

Для обчислення V_n (1)

розіб'ємо кулю системою паралельних (N-1) 4

-мірних площин і скористаємося принципом Кавальєрі.

Нехай

- відстань січної площини від центру кулі. Перетин є

-мірний кулю радіуса $\ Sqrt {1-x ^ 2}$ .

отже,

$\ Displaystyle V_n (1) = 2 \ int_0 ^ 1V_ {n-1} \ left (\ sqrt {1-x ^ 2} \ right) dx = 2V_ {n-1} (1) \ int_0 ^ 1 (1-x ^ 2) ^ {\ frac {n-1} {2}} dx =$

$\ Displaystyle = V_ {n-1} (1) \ int_0 ^ 1t ^ {\ frac {n-1} {2}} (1-t) ^ {- \ frac {1} {2}} dt = V_ { n-1} (1) \ mbox {\ rm B} \ left (\ frac {n + 1} {2}, \ frac {1} {2} \ right) =$

$\ Displaystyle = V_ {n-1} (1) \ frac {\ Gamma \ left (\ frac {n + 1} {2} \ right) \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} \ right)} {\ Gamma \ left (\ frac {n} {2} +1 \ right)}.$

Звідси слідує що

$\ Displaystyle V_n (1) = \ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma \ left (\ frac {n} {2} +1 \ right)}.$

Оскільки

-мірний еліпсоїд виходить з кулі V_n (1)

розтягуваннями в r_i

раз уздовж

-й піввісь, його обсяг дорівнює $V_n (1) r_1r_2 \ ldots r_n$ . Як відомо з курсу аналітичної геометрії, визначник матриці дорівнює добутку квадратів зворотних полуосям величин. Звідси
отримуємо твердження теореми.

Зауваження. Тут $\ Mbox {\ rm B} (p, q)$ позначає бета-функцію :

$\ Displaystyle \ mbox {\ rm B} (p, q) = \ int_0 ^ 1x ^ {p-1} (1-x) ^ {q-1} dx.$

Значення бета-функції при різних значеннях параметрів

пов'язані між собою наступними співвідношеннями:

$\ Displaystyle \ mbox {\ rm B} (p, q) = \ mbox {\ rm B} (q, p), \ \ mbox {\ rm B} (p, q) = \ frac {q-1} { p + q-1} \ mbox {\ rm B} (p, q-1), \ q> 1.$

справедлива формула

$\ Displaystyle \ mbox {\ rm B} (p, 1-p) = \ frac {\ pi} {\ sin p \ pi}, \ 0 <p <1.$

Бета функція виражається через гамма-функцію:

$\ Displaystyle \ mbox {\ rm B} (p, q) = \ frac {\ Gamma (p) \ Gamma (q)} {\ Gamma (p + q)}.$

Приклад 1. Площа, обмежена еліпсом $a_ {11} x ^ 2 + 2a_ {12} xy + a_ {22} y ^ 2 = 1$ , обчислюється за формулою

$\ Displaystyle S = \ frac {\ pi} {\ sqrt {a_ {11} a_ {22} -a_ {12} ^ 2}}.$

Приклад 2. Обсяг фігури, обмеженою еліпсоїдом

$(X_1, x_2, x_3) \ left (\ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {12} & a_ {22} & a_ { 23} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end {array } \ right) = 1$

дорівнює

$\ Displaystyle V = \ frac {4} {3} \ frac {\ pi} {\ sqrt {\ left | \ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \ \ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} \ end {array} \ right |}}.$

3. Обсяг фігури, обмеженою чотиривимірним еліпсоїдом (в запису, аналогічної попередньої) -

$\ Displaystyle V = \ frac {\ pi ^ 2} {2 \ sqrt {\ det A}}.$

Завдання.

1. Дан опуклий багатогранник. Візьмемо одиничний вектор зовнішньої нормалі кожній грані і помножимо його на площу грані. Знайдіть суму одержані векторів.

2. Напишіть рівняння кругової конічної поверхні, для якої осі прямокутної декартової системи координат служать утворюють.

3. З точки, що лежить поза еліпсоїда, проведені всі дотичні до нього. Доведіть, що всі точки дотику лежать в одній площині.

4. Нехай

. Довести, що відстань від будь-якої точки еліпса $\ Displaystyle \ frac {x ^ 2} {(a + r) ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {(b + r) ^ 2} = 1$ до еліпса $\ Displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1$ не перевищує

5. Дана гіпербола і точка, що не лежить на ній. Розглядаються всілякі хорди гіперболи, що проходять через цю точку. Доведіть, що точки перетину дотичних до гіперболи, що проходять через кінці таких хорд, лежать на одній прямій.

6. Внутрішня поверхня тригранного кута, ребрами якого служать позитивні промені осей OX, OY, OZ

декартової системи координат, дзеркальна. Промінь світла йде з точки M_0

, що лежить всередині кута, в напрямку вектора ${\ Bf a}$ , що утворює тупі кути з осями OX, OY, OZ

. Доведіть, що світло відіб'ється рівно по одному разу від кожної з граней кута (якщо не потрапить ні на одне з ребер) і знайти, з якої прямий він буде рухатися після всіх відображень.

7. Нехай

- вершина куба

з ребром

- сфера, вписана в

- область, що складається з усіх точок

між

таких, що

ближче до

, ніж до будь-якої іншої вершини куба

. Знайдіть об'єм V (R)

8. Дано дві непересічні і не лежать одна в іншій окружності радіусів R_1

$(R_1 \ ne R_2)$ . Знайдіть геометричне місце центрів кіл, що стосуються двох даних кіл.

9. Знайдіть геометричне місце центрів прямокутників, вписаних в даний трикутник так, що одна з їх сторін лежить на основі трикутника.

10. Сума довжин декількох векторів на площині дорівнює

. Доведіть, що з цих векторів можна вибрати кілька (може бути, один) так, щоб довжина суми обраних векторів була не менше

11. Скласти рівняння поверхні, що отримується обертанням кривої x ^ 3 + y ^ 3 = 3xy

;

навколо прямої x = y = z

12. Точки A, B, C

рухаються по площині так, що в кожен момент часу нормаль до траєкторії точки

, проведена через точку

, є бісектрисою кута BAC

. Аналогічне умова виконується при русі точок

. Доведіть, що периметр $\ Delta ABC$ постійний.

13. У $\ Mathbb {R} ^ 3$ задана поверхня x ^ 5 + y ^ 5 = z ^ 7

. Знайти всі прямі, що належать цій поверхні.

14. У еліпсоїд $\ Displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} + \ frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1$ впишіть прямий циліндр (вісь циліндра збігається з віссю еліпсоїда) максимального обсягу.

15. Знайдіть найбільший радіус кола, що лежить на еліпсоїді $\ Displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} + \ frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1$ ( a> b> c

Теорія матриць для школярів

неділя, 5 лютого 2017 р.

Використання визначників матриць в геометрії

Немає коментарів:

Дописати коментар

неділя, 5 лютого 2017 р.

Використання визначників матриць в геометрії

Немає коментарів:

Дописати коментар

неділя, 5 лютого 2017 р.