Теорія матриць для школярів : 2014

субота, 4 жовтня 2014 р.

Про математиків та матем. дискусії

Теорема Морли

16 Сентябрь 2014, 21:51

Фрэнк Морли (1860–1937) — английский математик, известный своими работами по алгебре и геометрии. Морли любил придумывать задачи, и за более чем 50 лет своей работы со времени окончания Кембриджского университета он опубликовал более 60 задач в Educational Times. Большинство этих задач — геометрические. Морли очень хорошо играл в шахматы. Одни раз он даже выиграл у чемпиона мира по шахматам Эмануэля Ласкера (примеч. Интересно, что Ласкер тоже занимался математикой, и одна из теорем названа его именем — теорема Ласкера — Нётер). Морли внес огромный вклад в развитие математики в США. В течение 30 лет он был редактором журнала American Journal of Mathematics, работал и в журнале Bulletin of the American Mathematical Society, в 1919–20 годах был президентом Американского математического общества.

Самым известным результатом Фрэнка Морли является теорема о трисектрисах треугольника, носящая его имя.

Сначала определим трисектрису, а затем докажем теорему. Читать полностью ‘Теорема Морли’ »

Теги: геометрия, планиметрия
Рубрика: Статьи по математике | Ваш отзыв

Теорема Содди

2 Апрель 2014, 15:48

Фредерик Содди (1877—1956) — английский химик, изучавший проблемы радиоактивности совместно с Резерфордом, выдвинувший теорию изотопов, удостоенный Нобелевской премии по химии 1921 г. за вклад в теорию строения атома. Кроме химии, Ф. Содди интересовался экономическими, социальными и политическими теориями, написал несколько книг на эти темы, а также занимался некоторыми математическими задачами.

Следующая довольно красивая теорема, долгое время считавшаяся гипотезой, принадлежит именно ему, хотя доказал ее Коксетер.

Теорема Содди. Пусть три окружности с радиусами a,b,c

касаются внешним образом. Пусть

— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом, а

— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внутренним образом. Тогда имеют место равенства

$\displaystyle2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2,$

$\displaystyle 2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{R^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{R}\right)^2.$

Читать полностью ‘Теорема Содди’ »

Теги: геометрия, планиметрия, средняя и старшая школа

Бесконечность или -1/12?

20 Февраль 2014, 8:08

Дэвид Берман, Марианна Фрейбергер

Недавно обсуждался очень странный результат. Утверждается, что, когда вы сложите все натуральные числа

$1 +2 +3 +4 + \ldots$ ,

то сумма будет равна -1/12

. Данная идея демонстрируется в видео Numberphile, где утверждается, что результат доказан, а также рассказывается, что он повсеместно используется в физике. Данная идея так поразила людей, что она даже попала в “Нью-Йорк Таймс’’. Итак, что же все это значит? Читать полностью ‘Бесконечность или -1/12?’ »

Теги: мат. анализ, математика, ряды

Теорема (звезда Давида)

2 Февраль 2014, 7:52

Эта теорема представляет собой одно из арифметических свойств биномиальных коэффициентов, или чисел ${\sf C}_n^k$ .

Теорема (звезда Давида). Наибольший общий делитель чисел ${\sf C}_{n-1}^k,{\sf C}_{n}^{k-1}$ и ${\sf C}_{n+1}^{k+1}$ равен наибольшему общему делителю чисел ${\sf C}_{n-1}^{k-1},{\sf C}_{n}^{k+1}$ и ${\sf C}_{n+1}^{k}$ .

Чтобы понять, почему эта теорема называется звездой Давида, посмотрите на следующий рисунок. Наибольший общий делитель чисел, стоящих в синих углах и наибольший общий делитель чисел, стоящих в фиолетовых углах, равны. Вместе эти два треугольники образуют звезду Давида.

Например, если n=4

, теорема утверждает, что наибольший общий делитель ${\sf C}_3^2,{\sf C}_4^1$ и ${\sf C}_5^3$ равен наибольшему общему делителю ${\sf C}_3^1,{\sf C}_4^3$ и ${\sf C}_5^2$ . Очевидно, это не самый интересный пример, потому что при упрощении обоих НОД получаем НОД (3,4,10)

, который равен

. Давайте рассмотрим другой пример. Читать полностью ‘Теорема (звезда Давида)’ »

Теги: алгебра, средняя и старшая школа

Аксиома Паша

29 Ноябрь 2013, 23:26

Мориц Паш родился в 1843 году в Бреслау (Германия), ныне город Вроцлав в Польше. В 1860 году закончил гимназию в Бреслау и поступил там же в университет, где учился у Генриха Шрётера, Фердинанда Йоахимшталя и Рудольфа Липшица. В 1865 году он закончил университет, получив докторскую степень. После этого он учился в университете Берлина у Вейерштрасса и Кронекера. В 1866 году умер его отец, и Паш должен был оставить работу над диссертацией, чтобы помочь семье. Однако в 1870 году он представил свою диссертацию в университет Юстуса Либиха в Гессене. В 1873 году он стал там внештатным профессором, а через два года — профессором, после того как отверг аналогичное предложение в Бреслау. Работал Паш над основаниями геометрии. Он также принимал участие в управлении университетом. Уйдя в отставку в 1911 году, он продолжал жить в Гессене. Умер Мориц Паш в 1930 году. Читать полностью ‘Аксиома Паша’ »

Теги: геометрия, планиметрия

Теория графов и коммуникация

1 Ноябрь 2013, 21:36

Джон Робинсон Пирс

В начале 70-х годов прошлого века Джон Пирс предложил коммуникационную сеть, состоящую из соединенных между сосбой в различных точках направленных циклов. Чтобы сообщение попало из исходной точки одного цикла в точку назначения на другом цикле, необходимо было понять, в каких точках нужно переходить на следующие циклы.

Рональд Грэм и Генри Поллак предложили считать каждый цикл вершиной графа, которую отмечали последовательностью символов из алфавита $\{0,1,*\}$ таким образом, чтобы расстояние Хэмминга между строками соответствовало расстояниям в графе. Тогда переходить на другой цикл следовало, когда адрес нового цикла имел меньшее расстояние Хэмминга до точки назначения. Читать полностью ‘Теория графов и коммуникация’ »

Теги: задача, линейная алгебра, приложения, теория графов

Линейное представление НОД. Простые и составные числа

5. Нуль в нулевой степени

6. Факториал нуля

7. Один или два корня

8. Равносторонний треугольник

9. Трапеция и параллелограмм

10. Параллельные прямые

11. Вроде бы равные дроби

12. Корень из двух — точное число?

13. Равно ли точно двум?

14. Бесконечная десятичная дробь

15. Точка и круг

Анализ мёртв. Да здравствует анализ!

Тлумачення математичних символів

Для множеств

$\operatorname{Card}$ — используется для обозначения количества элементов в конечном множестве:

$\operatorname{Card}(\{1,3,8,\pi\})=4 \ .$

Числовые множества

$\mathbb N$ — натуральных чисел;

$\mathbb Z_{}$ — целых чисел;

$\mathbb Q_{}$ — рациональных чисел;

$\mathbb R_{}$ — вещественных чисел;

$\mathbb C_{}$ — комплексных чисел.

Целые числа

$\operatorname{HOD}$ — наибольший общий делитель;

$\operatorname{HOK}$ — наименьшее общее кратное;

$\underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}}$ — представление числа в десятичной системе счисления:

$\underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} = {\mathfrak a}_1\times 10^s+{\mathfrak a}_2 \times 10^{s-1} + \dots +{\mathfrak a}_s \times 10 + {\mathfrak a}_{s+1} ;$

$A \equiv B \pmod{M}$ (или $A \equiv_{_M} B$ ) обозначает факт сравнимости $A_{}$ с $B_{}$ по модулю $M_{}$ , т.е. что числа $A_{}$ и $B_{}$ имеют одинаковые остатки при делении на $M_{}$ ;

$x= A \pmod{M}$ понимается в смысле, что переменной $x_{}$ присваивается значение остатка от деления числа $A_{}$ на $M_{}$ ;

$\operatorname{ind}_{_{\Lambda}} A$ — индекс числа $A_{}$ по модулю $p_{}$ и основанию $\Lambda$ .

$\mathbb Z_M$ — множество классов вычетов по модулю $M_{}$ .

Биномиальный коэффициент

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1) \times \dots \times (n-k+1)}{1\cdot 2 \times \dots \times k}$

В англоязычной литературе обозначается ${n \choose k}$ .

Пример.

$C_n^1=n, C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}, C_{17}^5=\frac{17\cdot 16\cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} =6188 \ .$

Используется в формуле бинома Ньютона и в комбинаторике.

Свойства.

1. Биномиальный коэффициент — целое число.

2. При $p_{}$ — простом все коэффициенты $C_p^1, C_p^2,\dots,C_p^{p-1}$ делятся на $p_{}$ . Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

3. $C_n^{k}=C_n^{n-k}$ при любом $k\in \{0,\dots,n \}$ .

4. $C_n^k + C_n^{k+1}= C_{n+1}^{k+1}$ при любом $k\in \{0,\dots,n-1 \}$ .

5. Число сочетаний из $n_{}$ элементов по $k_{}$ элементов равно $C_n^{k}$ .

Функция Эйлера

или тотиент натурального числа $A_{}$ обозначается $\phi (A)$ и представляет собой количество чисел ряда

$0,1, \dots, A-1 \ ,$

взаимно простых c $A_{}$ .

Пример. $\phi (1)=1, \, \phi (2)=1, \, \phi (3)=2, \, \phi (4)=2, \, \phi (5)=4, \, \phi (6)=2, \phi (7)=6 ,\, \phi (8)=4 , \, \phi (12)=4$ .

Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Символ Кронекера

$\delta_{jk}= \left\{ \begin{array}{rcc} 1 & npu & j=k; \\ 0 & npu & j\ne k_{}. \\ \end{array} \right.$

Вещественные числа

Знак числа

$\operatorname{sign}$ — знак числа1); определяется для вещественного числа $x_{}$ по правилу

$\operatorname{sign}\, (x) = \left\{ \begin{array}{rcc} +1 & npu & x>0; \\ 0 & npu & x=0 ; \\ -1 & npu & x<0. \end{array} \right.$

Целая часть числа

определяется для любого вещественного числа $x_{}$ как наименьшее целое число, не превосходящее $x_{}$ . Обозначается $\lfloor x \rfloor$ .

Пример.

$\lfloor 5.37 \rfloor = 5, \ \lfloor \pi \rfloor = 3,\ \lfloor -34.4 \rfloor =-35,\ \lfloor -0.(123) \rfloor = -1 \ .$

Обозначение $\lfloor \ \ \ \rfloor$ по английски называется floor (пол); оно получило распространение в последние десятилетия. В литературе встречаются также обозначения $[x]$ или2) $E (x)$ .

Справедливо следующее свойство функции $\lfloor x \rfloor$ :

$\lfloor x \rfloor + \left \lfloor x+\frac{1}{n} \right \rfloor + \left \lfloor x+\frac{2}{n} \right \rfloor + \dots + \left \lfloor x+\frac{n-1}{n} \right \rfloor = \lfloor nx \rfloor$

для любого натурального $n_{}$ .

Число знакопостоянств (знакоперемен)

определяется для конечной последовательности вещественных чисел $A_{1},\dots, A_n, (n\ge 2)$ . Если числа $A_{1}$ и $A_{2}$ — одного знака, то говорят, что имеет место знакопостоянство (или постоянство знака) , если разного — то знакоперемена (или перемена знака). Вводят счетчики3) ${\mathcal P}_{}$ знакопостоянств и знакоперемен ${\mathcal V}_{}$ , полагая

${\mathcal P} (A_1,A_2) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & npu & A_1A_2 > 0 \\ 0 & npu & A_1A_2 < 0 \end{array} \right. \ ; \ {\mathcal V} (A_1,A_2) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & npu & A_1A_2 < 0 \\ 0 & npu & A_1A_2 > 0 \end{array} \right. \ .$

Число знакопостоянств (-перемен) в последовательности $A_{1},\dots, A_n$ определяется как сумма этих величин, вычисленных для соседних членов:

${\mathcal P} (A_1,\dots, A_n)={\mathcal P} (A_1,A_2) + {\mathcal P} (A_2,A_3)+ \dots + {\mathcal P} (A_j,A_{j+1})+ \dots +{\mathcal P} (A_{n-1},A_n),$

${\mathcal V} (A_1,\dots, A_n)={\mathcal V} (A_1,A_2) + {\mathcal V} (A_2,A_3)+ \dots + {\mathcal V} (A_j,A_{j+1})+ \dots +{\mathcal V} (A_{n-1},A_n) \ .$

Пример.

${\mathcal P} (-2, \sqrt{5.3}, 2.818, 123, -0.5, -33)=$

$={\mathcal P} (-2, \sqrt{5.3})+ {\mathcal P} (\sqrt{5.3}, 2.818) + {\mathcal P} ( 2.818,123)+{\mathcal P} (123,-0.5)+{\mathcal P} (-0.5, -33)=0+1+1+0+1=3 \ ,$

${\mathcal V} (-2, \sqrt{5.3}, 2.818, 123, -0.5, -33)=2 \ .$

При наличии нулей среди чисел $A_{1},\dots, A_n$ иногда дополнительно устанавливается правило, что при подсчете знакопостоянств (-перемен) нулевые значения пропускаются (не учитываются). В случае когда все $A_{1},\dots, A_n$ ненулевые, имеет место равенство:

${\mathcal P} (A_1,\dots, A_n)+{\mathcal V} (A_1,\dots, A_n)=n-1 \ .$

Комплексные числа

$\mathbf i$ — мнимая единица;

$\mathfrak{R}\mathbf{e} (z)$ и $\mathfrak{I}\mathbf{m}(z)$ — соответственно, вещественная и мнимая части числа $z_{}$ : $\mathfrak{R}\mathbf{e} (a+ \mathbf i \, b )= a,\ \mathfrak{I}\mathbf{m}(a+ \mathbf i \, b )= b$ (при вещественных $a_{}$ и $b_{}$ );

$\overline{z}$ — комплексное сопряжение числа $z_{}$ : $\overline{a+ \mathbf i \, b}= a- \mathbf i \, b$ (при вещественных $a_{}$ и $b_{}$ );

$\operatorname{arg}(z)$ — аргумент числа $z_{}$ ;

$\mathbb C_{}$ — множество комплексных чисел.

Матрицы

Для матрицы $A_{}$ через $A^{[j]}$ обозначаем ее $j_{}$ -ю строку, а через $A_{[k]}$ — ее $k_{}$ -й столбец;

${}^{\top}$ — транспонирование;

$\mid$ — конкатенация;

$\det$ — определитель;

$\operatorname{rank}$ — ранг;

$\operatorname{Sp}_{}$ — след;

$n_{+}$ и $n_{-}$ — положительный и отрицательный индексы инерции симметричной матрицы.

$A\doteq B$ — означает, что квадратные матрицы $A_{}$ и $B_{}$ подобны, т.е. существует неособенная матрица $C_{}$ такая, что $C^{-1}AC=B$ .

Полиномы

$\deg$ — степень;

$\operatorname{HOD}$ — наибольший общий делитель;

$\operatorname{nrr}$ — число вещественных корней;

$\mathcal D$ — дискриминант;

$\mathcal R$ — результант;

$\mathbb Z[x], \mathbb Q[x], \mathbb R[x], \mathbb C[x]$ — множества полиномов от переменной $x_{}$ с коэффициентами целыми, рациональными, вещественными, комплексными соответственно (аналогично для случая полиномов от нескольких переменных).

$\mathbb P_n^{}$ — множество полиномов с вещественными коэффициентами степеней $\le n_{}$ ; кроме того, множество содержит тождественно нулевой полином.

Линейные пространства

$\dim$ — размерность линейного пространства;

$\mathcal L(X_1,\dots,X_k)$ — линейная оболочка векторов $X_1,\dots,X_k$ ;

$\oplus$ — прямая сумма линейных подпространств (следует отличать от XOR — операции сложения по модулю $2_{}$ );

$\mathbb V / \mathbb V_1$ — факторпространство пространства $\mathbb V_{}$ над подпространством $\mathbb V_1$ .

Евклидовы пространства

$\mathbb E_{}$ — обозначение евклидова пространства;

$(X_{},Y)$ — скалярное произведение;

$G_{} (X_1,\dots,X_m)$ — матрица Грама, $\mathfrak{G}_{} (X_1,\dots,X_m)$ — определитель Грама системы векторов $\{ X_1,\dots,X_{m} \}$ ;

$|X| = \sqrt{(X,X)}$ — длина вектора $X_{}$ ;

$X \bot Y$ означает, что векторы $X_{}$ и $Y_{}$ ортогональны;

$X^{^{\parallel}}$ — ортогональная проекция вектора $X_{}$ на данное подпространство, $X^{^{\bot}}$ — ортогональная составляющая вектора $X_{}$ относительно данного подпространства (или перпендикуляр, опущенный из конца вектора $X_{}$ на подпространство);

$\mathbb E_1^{^{\bot}}$ — ортогональное дополнение подпространства $\mathbb E_1$ .

Линейные отображения

$\mathcal{K}er (\mathcal A)$ — ядро отображения $\mathcal A$ ;

$\operatorname{dfc}(\mathcal A )$ — дефект линейного отображения $\mathcal A$ , т.е. $\dim (\mathcal{K}er (\mathcal A ))$ ;

$\mathcal{I}m(\mathcal A)$ — образ отображения $\mathcal A$ , (следует отличать от $\mathfrak{I}\mathbf{m}(z)$ — мнимой части комплексного числа $z_{}$ );