СТЕПЕНЕВІ МАТРИЧНІ РІВНЯННЯ Хm =А РОЗМІРОМ 2х2.

Модуль 14

СТЕПЕНЕВІ МАТРИЧНІ РІВНЯННЯ Х^m =А РОЗМІРОМ 2х2.

Означення. Матричне рівняння Х^т =А, де А - відома квадратна матриця,  Х - невідома квадратна матриця Х, називається степеневим матричним рівнянням.

Якщо А – діагональна матриця

А = diag{ a₁, a₂, a₃, a₄, …., a_n }

з невідʼємними числами на головній діагоналі, то очевидними розв’язком рівняння Х^т =А, є матриця  X =А^1:m.

X =А^1:m = diag{ (a₁) ^1:m, (a₂) ^1:m, (a₃) ^1:m,  …., (a_n) ^1:m }

Якщо існує така матриця Т та Т ^-1 із того, що

А= Т ^-1 *J(А)* Т,

де J(А) – нормальна жорданова форма матриці А,

слідує, що існує розвʼязок степеневого рівняння у вигляді:

Х = А^1:m = Т ^-1 *J^1:m (А)* Т.     

Приклад.  Знайти невідому дійсну матрицю Х, якщо:

Х^-1 =А,

де

А=(	a	b	)
	с	d

Розвʼязання. Зрозуміло, що Х = (Х^-1)^-1 = А^-1 .

Розглянемо випадок, коли визначник det А не дорівнює нулю.

Відома квадратна матриця А, задана чотирма елементами-параметрами: a, b, c, d:

А=(	a	b	)
	с	d

Тоді X =А^-1,  або

Х=A-1 =1/( аd – bc)*(	d	-b	)
	-c	a

Приклад.  Знайти невідому дійсну матрицю Х, якщо:

Х ² =Е,

де

Е=(	1	0	)
	0	1

Розвʼязання. Зрозуміло, що

 Х = (Х²)^-2 = Е^-2 = Е .

Х = ((-Х)²)^-2 = (-Е)^-2 = Е .

Тому дійсні матриці мають вигляд:

Х1 =Е=(	1	0	)
	0	1

Х2 =(	-1	0	)
	0	1

Х3 =(	1	0	)
	0	-1

Х4 =-Е=(	-1	0	)
	0	-1

А якщо комплексні матриці, то

Х5 =-Е=(	-і	0	)
	0	-і

Х6 =-Е=(	0	-і	)
	-і	0

Приклад.  Знайти невідому дійсну матрицю Х, якщо:

Х ² = -Е,

де

-Е=(	-1	0	)
	0	-1

Розвʼязання. Зрозуміло, що в дійсних числах не існує розв’язку рівняння  х² = -1 , треба використовувати уявні числа.  

Тому дійсні матриці мають вигляд:

Х1 =(	0	-1	)
	1	0

Х2 =(	0	1	)
	-1	0

А якщо шукати комплексні матриці, то

Х3 =(	і	0	)
	0	-і

Х4 =(	-і	0	)
	0	і

Х5 =(	і	0	)
	0	і

Приклад.  Знайти невідому дійсну матрицю Х, якщо:

Х ³ = Е,

де

Е=(	1	0	)
	0	1

Розвʼязання. Зрозуміло, що в дійсних числах   існує розв’язок рівняння  х³ = 1. 

Х ³ =  Е³  = Х ¹ Х ^{2 =} Х ^-1 Х ² =  Х ^-1 Х ¹=  Е,

Тут має місце рівність Х ² =  Х, тобто можна використовувати ідемпотентні матриці.

Тому дійсні матриці мають вигляд:

Х1 =(	1	0	)
	0	1

Х2 =(	a	b	)
	(-a2-a-1)b-1	-a-1

Х3 =(	1	0	)
	-1	-1