ПРОЗОРІ МАТРИЧНІ РІВНЯННЯ ab = aХb = c

Модуль 14.

ПРОЗОРІ МАТРИЧНІ РІВНЯННЯ  ab = aХb = c

Розглянемо лінійне рівняння з трьома невідомими:

ax + by + cz = d.   (*)

Рівняння (*) можна переписати у матричній формі, тобто у вигляді добутку відомої матриці-рядка  розмірами 1х3  на невідому матрицю-стовпчик  розмірами 3х1,   які відповідно рівні  (а , b,  с) та (x, y, z)^т  і результат добутку матрицею-числом розміром 1х1 d.

(	а	b	с	)(	х	)=	d
					у
					z

На полі дійсних чисел R рівняння (2) має безліч розв’язків (x, y, z)^т  і множина усіх цих розв’язків задає площину у тривимірному просторі.

Виявляється, якщо існує цілочисельний розв’язок:

х = p₁ + q₁*k + g₁*l = 1*p₁ + q₁*k + g₁*l,

y = p₂+ q₂*k + g₂*l = 1*p₂+ q₂*k + g₂*l,

z = p₃ + q₃*k + g₃*l = 1*p₃ + q₃*k + g₃*l.

то  невідому трійку записати у матричній формі

(x, y, z)^т  = Р ^т(1, k, l)^т,

Тобто, у розгорнутій формі запису  цей розв’язок  виглядить так:

(	х	)=(	p1	q1	g1	)(	1	)
	у		p2	q2	g2		k
	z		p3	q3	g3		l

Таким чином, отримаємо матричне рівняння (**) з невідомою квадратною матрицею Р розміром 3х3

(a, b, c)*Р*(1, k, l)^т = d,

тобто

(a b c)(	p1	q1	g1	)(	1	)=	d
	p2	q2	g3		k				(**)
	p3	q3	g3		l

Приклад. Знайти  розв’язок діофантового рівняння

8х +33у + 16z =1416

та записати квадратну матрицю коефіцієнтів F його для однопараметричного розв’язку  

ах = аFt = k,

де а = (8  33  16), х = (х  у  z)^т,  t = (1  n  0)^т, k = 1416.

F = (	p1	q1	g1	).
	p2	q2	g3
	p3	q3	g3

Розв’язання. Запишемо згідно умови рівняння ах = k,

ах = (8  33  16)	(	х	)=  8х +33у + 16z =1416
		у
		z

ах = аFt = k,

(8 33 16)(	p1	q1	g1	)(	1	)=	1416
	p2	q2	g3		n
	p3	q3	g3		0

х = Ft

х = p₁ + q₁*n + g₁*0 = 1*p₁ + q₁*n,

y = p₂+ q₂*n + g₂*0= 1*p₂+ q₂*n,

z = p₃ + q₃*n + g₃*0 = 1*p₃ + q₃*n.

Потрібно розв’язати діофантове рівняння

8х + 33у + 16z =1416.

Використаємо метод спуску. Поділимо все рівняння на 8. Отримаємо

х + 4у + у/8 + 2z =177.

Виокремимо у лівій частині дріб, який має набувати цілих значень.

у/8 = - х - 4у - 2z + 177.

Ліва і права частини останнього рівняння це цілі числа, тому

y = 8n,  де n - довільне ціле число.

Виокремимо у лівій частині змінну х, враховуючи, що y = 8n:

х = - 4у - у/8 - 2z +177,

х = - 4*8n - n - 2z +177 = -33n  - 2z + 177.

Покладемо  z = n і отримаємо трійку цілих чисел (х  у  z), яка є цілочисельним розв’язком даного рівняння

х = -33n  - 2n + 177 = - 35n + 177

y = 8n,

z = n,

де n - довільне ціле число.

Або

(х  у  z) = (- 35n + 177;   8n;   n),

де n - довільне ціле число.

Запишемо декілька конкретних трійок чисел, які є розв’язком даного рівняння. Наприклад,

якщо n =0, то трійка чисел (х  у  z) = ( 177;   0;   0) є розв’язком;  

якщо n = -1, то трійка чисел (х  у  z) = ( 212;   -8;   -1) є розв’язком;  

якщо n = 1, то трійка чисел (х  у  z) = ( 142;    8;    1) є розв’язком.  

Запишемо вигляд ах = аFt = k:

(8 33 16)(	177	-35	0	)(	1	)=	1416
	0	8	0		n
	0	1	0		0

F = (	177	-35	0	).
	0	8	0
	0	1	0

Відповідь: (- 35n + 177;   8n;   n),  де n - довільне ціле число.

Означення. Рівність

ab = aХb = c,   (1)

що містить невідому  матрицю розміром nxn, яка позначена буквою Х, і відомі матриці: матрицю-рядок  розмірами 1хn,   матрицю-стовпчик  розмірами nх1,   які відповідно позначені буквами а та b, матрицю-число розміром 1х1, що позначена с, називається прозорим матричним рівнянням.

Означення. Матрицею-коренем прозорого матричного рівняння називається таке значення невідомої матриця Х, при якому матричне рівняння перетворюється у правильну рівність aХb = c.

Зрозуміло, якщо ab = aХb, то  Х = І , де І – одинична матриця.

Означення. Розв’язати прозоре матричне рівняння означає знайти усі його матриці-корені, або довести, що їх не існує.

Приклад. Розглянемо спосіб знаходження цілочисельної трійки- розв’язку лінійного рівняння з трьома невідомими:

ax + by + cz = d.   (2)

Рівняння (2) можна переписати у матричній формі, тобто у вигляді добутку відомої матриці-рядка  розмірами 1х3  на невідому матрицю-стовпчик  розмірами 3х1,   які відповідно рівні  (а , b,  с) та (x, y, z)^т  і результат добутку матрицею-числом розміром 1х1 d.

(	а	b	с	)(	х	)=	d
					у
					z

На полі дійсних чисел R рівняння (2) має безліч розв’язків (x, y, z)^т  і множина усіх цих розв’язків задає площину у тривимірному просторі.

Поставимо таку специфічну задачу: знайти тільки цілі розв’язки рівняння (2), якщо відома матриця-рядок  розмірами 1х3 (а , b,  с), що складається тільки із цілих чисел, { а , b,  с }єZ.

При умові, що

d:НСД(а , b,  с) – ціле число,

то методом невизначених коефіцієнтів завжди можна знайти цілочисельний розв’язок рівняння (2). Цей розв’язок  може бути записаний, як:

a) трійка чисел, яка задана через один цілий параметр k:

х = m₁k + n₁,

y = m₂k + n₂,

z = m₃k + n₃,

Наочно продемонструємо, як користуватися методом невизначених коефіцієнтів для пошуку цілих значень невідомих трійок

(m₁ , m₂, m₃), (n₁ , n₂, n₃).

Для цього задана форма розв’язків підставляється у дане рівняння (2) і тотожно перетворюється ліва і права частини до лінійного виду відносно параметру k:

a(m₁k + n₁) + b(m₂k + n₂) + c(m₃k + n₃)= d.

am₁k + аn₁ + bm₂k + bn₂ + cm₃k + сn₃= d.

am₁k + bm₂k + cm₃k + аn₁ + bn₂ + сn₃ = d.

(am₁ + bm₂ + cm₃)k + (аn₁ + bn₂ + сn₃ ) = 0* k  + d.

 Так як ліва і права частина це дві неперервні лінійні функції, то можна прирівняти коефіцієнти при k  і прирівняти вільні члени. Отримаємо:

am₁ + bm₂ + cm₃ = 0           (3)

аn₁ + bn₂ + сn₃= d            (4)

Завжди можна підібрати таку трійку цілих чисел (m₁ , m₂, m₃), при заданій трійці (а , b,  с), що складається тільки із цілих чисел, { а , b,  с }, що виконується рівність (3).  Таких трійок існує безліч.

Завжди можна підібрати таку трійку цілих чисел (n₁ , n₂, n₃), при заданій трійці (а , b,  с), що складається тільки із цілих чисел, { а , b,  с } і цілому значенні d, що виконується рівність (4). Таких трійок існує безліч.

 b) трійка чисел, яка задана через два цілі параметри k i l:

х = p₁ + q₁*k + g₁*l = 1*p₁ + q₁*k + g₁*l,

y = p₂+ q₂*k + g₂*l = 1*p₂+ q₂*k + g₂*l,

z = p₃ + q₃*k + g₃*l = 1*p₃ + q₃*k + g₃*l.

Користуючись методом невизначених коефіцієнтів для пошуку цілих значень невідомих трійок

(р₁ , р₂, р₃), (q₁ , q₂, q₃), (g₁ , g₂, g₃),

отримаємо  рівності:

aр₁ + bр₂ + cр₃ = d           (5)

aq₁ + bq₂ + cq₃ = 0           (6)

аg₁ + bg₂ + сg₃= 0            (7)

Завжди можна підібрати таку трійку цілих чисел (р₁ , р₂, р₃), при заданій трійці (а , b,  с), що складається тільки із цілих чисел, { а , b,  с }, що виконується рівність (5).  Таких трійок існує безліч.

Завжди можна підібрати таку трійку цілих чисел (q₁ , q₂, q₃), при заданій трійці (а , b,  с), що складається тільки із цілих чисел, { а , b,  с } і цілому значенні d, що виконується рівність (6). Таких трійок існує безліч.

Завжди можна підібрати таку трійку цілих чисел (g₁ , g₂, g₃), при заданій трійці (а , b,  с), що складається тільки із цілих чисел, { а , b,  с } і цілому значенні d, що виконується рівність (7). Таких трійок існує безліч.

Звертаємо увагу, що однопараметричний розв’язок  завжди є окремим випадком двопараметричного  розв’язку, тобто 

х = m₁k + n₁ = 1*n₁ + m₁*k + g₁*0,

y = m₂k + n₂= 1*n₂+ m₂*k + g₂*0,

z = m₃k + n₃= 1*n₃ + m₃*k + g₃*0.

Запишемо цілі розв’язки у матричний формі:

a) трійка чисел, що задана через один цілий параметр k:

(	х	)=(	n1	m1	g1	)(	1	)
	у		n2	m2	g2		k
	z		n3	m3	g3		0

b) трійка чисел, що задана через два цілі параметри k i l:

(	х	)=(	p1	q1	g1	)(	1	)
	у		p2	q2	g2		k
	z		p3	q3	g3		l

Діофантове рівняння 

ax + by + cz = d.

можна записати як прозоре матричне рівняння

ax = aРt = c

або  у розгорнутій матричній формі, якщо невідому трійку записати у матричній формі (x, y, z)^т  = Р ^т(1, k, l)^т, тобто

(	х	)=(	p1	q1	g1	)(	1	)
	у		p2	q2	g2		k
	z		p3	q3	g3		l

А тепер отримаємо прозоре матричне рівняння (8) з невідомою квадратною матрицею Р розміром 3х3 (a, b, c)Р(1, k, l)^т = d, тобто

(a b c)(	p1	q1	g1	)(	1	)=	d
	p2	q2	g3		k				(8)
	p3	q3	g3		l

Нагадаємо, що при застосуванні методу невизначених коефіцієнтів, отримані були рівності:

aр₁ + bр₂ + cр₃ = d           (5)

aq₁ + bq₂ + cq₃ = 0           (6)

аg₁ + bg₂ + сg₃= 0           (7)

та

am₁ + bm₂ + cm₃ = 0           (3)

аn₁ + bn₂ + сn₃= d            (4)

Ці рівності зводяться до лінійних прозорих матричних рівнянь в цілих числах Ра = d, де Р – невідома матриця.

(	p1	p 2	p 3	)(	a	)=(	d	)
	q 1	q2	q 3		b		0
	g 1	g 2	g3		c		0

Це матричне рівняння має безліч розв’язків, які можна легко знайти звичайним підбором чисел так, щоб виконувалися рівності (5), (6), (7).

А сам розв’язок рівняння (2) можна записати через добуток транспонованих матриць: прозорої матриці Р ^т та матриці параметрів (1, k, l)^т:

(x, y, z)^т  = Р ^т(1, k, l)^т,

а у розгорнутій формі має вигляд:

(	х	)=(	p1	q1	g1	)(	1	)
	у		p2	q2	g2		k
	z		p3	q3	g3		l

та  відповідно для одно параметричного розв’язку:

(	n1	n2	n3	)(	a	)=(	d	)
	m1 0	m2 0	m3 0		b		0 0
					c

Щоб знайти коефіцієнти параметрів для запису розв’язку у вигляді

х = p₁ + q₁*k + g₁*l ,

y = p₂+ q₂*k + g₂*l ,

z = p₃ + q₃*k + g₃*l

для лінійного діофантового рівняння з трьома невідомими

ax + by + cz = d.

треба знаходити невідому матрицю у лінійному матричному рівнянні

(	p1	p 2	p 3	)(	a	)=(	d	)
	q 1	q2	q 3		b		0
	g 1	g 2	g3		c		0

Невідому матрицю можна знаходити способом підбору так, щоб виконувались рівності:

aр₁ + bр₂ + cр₃ = d          

aq₁ + bq₂ + cq₃ = 0          

аg₁ + bg₂ + сg₃= 0 .         

Приклад. Розв’язок діофантового рівняння  

2x  - 3y + 7z = 1.

знайдемо у вигляді трійки чисел, яка задана через один цілий параметр k:

х = m₁k + n₁,

y = m₂k + n₂,

z = m₃k + n₃.

Для цього використаємо формули:

am₁ + bm₂ + cm₃ = 0          

аn₁ + bn₂ + сn₃= d            

Для даного конкретного  рівняння маємо рівності:

2m₁  - 3m₂ + 7m₃ = 0          

2n₁ - 3n₂ + 7n₃= 1            

Методом підбору(а це дає змогу моделювати за певними умовами необхідні нам властивості невідомих трійок, а якщо вам важко підбирати числа для розв’язку, то задавайте, двом будь-яким невідомим довільні цілі числа і знаходьте третє невідоме із самого рівняння)  знаходимо по одній цілій трійки чисел:

(m₁ , m₂ , m₃) = (2, 6, 2)        

(n₁ , n₂ , n₃) = (1, -2, -1)        

Таким чином, маємо трійку-розв’язок (x, y, z)^т  з одним цілим параметром.

х = 2k + 1,

y = 6k -2,

z = 2k - 1.

Перевірка.

2(2k + 1) – 3(6k -2)+ 7(2k - 1) = 1,   

4k + 2 – 18k + 6 + 14k - 7 = 1,

0*k +1 = 1,   

1=1.        

Остаточно, нами створено один із розв’язків такого прозорого матричного рівняння:   

(2 -3 7)(	n1	m1	0	)(	1	)=	1
	n2	m2	0		k				(8)
	n3	m3	0		0

Тобто виконується така рівність:

(2 -3 7)(	2	1	0	)(	1	)=	1
	6	-2	0		k
	2	-1	0		0

Для знаходження матриці Х із  прозорого матричного рівняння

аХv = d,

тобто

(a b c)(	x1	y1	z1	)(	k	)=	d
	x2	y2	z3		m				(9)
	x3	y3	z3		n

 

зробимо заміну добутку Хv на матрицю-стовпчик: w = Хv.

Після заміни отримаємо нове рівняння:

aw = c,

(	а	b	с	)(	w1	)=	d
					w2
					w3

a w₁ + b w₂ + c w₃= d.

Розв’язок останнього рівняння легко знаходиться, а якщо вам важко підбирати числа для розв’язку, то задавайте, двом невідомим w₁   і  w₂  довільні цілі числа, підставте їх у рівняння і знаходьте третє невідоме w₃ із самого рівняння.  Отримаєте трійку чисел

(w₁ ,  w₂ , w₃)^т.

Виконуємо повернення до заміни і отримаємо матричне рівняння 

Хv = w

яке має безліч розв’язків.  Елементи матриці Х знаходимо способом моделювання три трійки розв’язків

(x₁   y₁  z₁ )

(x₂   y₂  z₂ )

(x₃   y₃  z₃ )

у кожному із відповідних  рівнянь:

kx₁ + my₁ + nz₁ = w₁.

kx₂ + my₂ + nz₂= w₂.

kx₅ + my₃ + nz₃= w₃.

Одну із невідомих матриць записуємо на знайдених елементах:

Х =(	x1	y1	z1	)
	x2	y2	z3
	x3	y3	z3