КОМУТАТИВНІ МАТРИЦІ.

КОМУТАТИВНІ МАТРИЦІ.

МАТРИЧНЕ РІВНЯННЯ АХ=ХА РОЗМІРОМ 2х2.

Означення. Матричне рівняння АХ=ХА, де А - відома квадратна матриця,  Х - невідома квадратна матриця Х, називається рівняння Фробеніуса.

Очевидними розв’язками рівняння АХ=ХА є N- нульова мариця, І -одинична матриця, обернена матриця А^-1.

Якщо існує обернена матриця А^-1 із того, що

АХ=ХА

слідує, що:

ХА = АХ,      (1)

А^-1Х=ХА^-1,       (2)

ХА^{-1 =} А^-1Х,      (3)

Х = АХА^-1,        (4)

Х = А^-1ХА ,    (5)

АХ - ХА=N,    (6)

I = X^-1А^-1ХА,    (7)

ХⁿА = АХⁿ,    (8)

АⁿХ=ХАⁿ.    (9)

та інші. 

І навпаки із останніх рівнянь (1) – (9) можна отримати АХ=ХА.

В цьому можна переконатися, якщо: поміняти місцями ліву та праву частину даного рівняння;  справа помножити дане рівняння на А або А^-1; зліва помножити дане рівняння на А або А^-1, справа помножити дане рівняння на Х або Х^-1; зліва помножити дане рівняння на Х або Х^-1.

Задача. Знайти нетривіальні матриці, які переставні (або комутують) з даною квадратною матрицею А розміром 2х2 при множенні. 

Розвʼязання.

Розглянемо випадок, коли визначник det А не дорівнює нулю.

Нехай відома квадратна матриця А, задана чотирма елементами-параметрами: a, b, c, d:

А=(	a	b	)
	с	d

Нехай невідома квадратна матриця Х, задана невідомими чотирма елементами-параметрами: x, y, z, u:

X=(	x	y	)
	z	u

Маємо матричне рівняння АХ=ХА.

Виконаємо множення матриць у лівій частині рівняння:

АХ= (	a	b	)(	x	y	)=(	ax+bz	ay+bu	)
	c	d		z	u		cx+dz	cy+du

Виконаємо множення матриць у правій частині рівняння:

ХА= (	x	y	)(	a	b	)=(	ax+уc	yd+bх	)
	z	u		c	d		uc+аz	bz+ud

Прирівняємо добутки обох множень АХ та ХА:

(	ax+bz	ay+bu	)=(	ax+уc	yd+bх	)
	cx+dz	cy+du		uc+аz	bz+ud

Рівність двох матриць означає рівність відповідних елементів цих матриць. Тому маємо чотири рівняння:

ax + bz = ax + уc  (1)

cy + du = bz + ud  (2)

ay + bu = yd + bх  (3)

cx + dz = uc + аz  (4)

Із даних рівнянь маємо такі рівності:

Із першого рівняння отримаємо рівність: bz = уc, що означає пропорційність відповідних елементів двох матриць, що розташовані на уявній(бічній, неголовній) діагоналі: 

b:с = у:z.    (5)

Таку ж пропорцію можна отримати із другого рівняння.

Із третього рівняння отримаємо рівність: (a-d)y = b(х-u),

що означає ще одну пропорційність на елементах двох матриць:

(a-d):b = (х-u):у.    (6)

Із четвертого рівняння отримаємо рівність: (a-d)z = с(х-u),

що означає ще одну пропорційність на елементах двох матриць:

(a-d):c = (х-u):z.   (7)

Критерій комутативності двох квадратних матриць розміром 2х2.

Для того, щоб дві квадратні матриці А та Х розмірами 2х2 були переставними при множенні необхідно і достатньо, щоб  на відповідні елементи обох матриць одночасно виконували три пропорції: (5), (6), (7).

Приклад. Сконструювати матрицю Х, що комутативна до даної квадратної матриці А розміром 2х2.

А=(	4	1	)
	5	9

Нехай невідома квадратна матриця Х, задана невідомими чотирма елементами-параметрами: x, y, z, u:

X=(	x	y	)
	z	u

Згідно пропорцій (5), (6), (7) отримаємо матрицю Х, якщо задати перший елемент головної діагоналі через параметр k:

X=(	k	1	)
	5	k+5

де k - довільне дійсне число.

Виконаємо множення матриці А   зліва:

АХ= (	4	1	)(	k	1	)=(	4k+5	k+9	)
	5	9		5	k+5		5k+45	9k+50

Виконаємо множення матриці А   справа:

ХА= (	k	1	)(	4	1	)=(	4k+5	k+9	)
	5	k+5		5	9		5k+45	9k+50

Взагалі, розв’язків X  для рівняння АХ=ХА можна побудувати безліч. Наведемо декілька із них:

Х₁ = А^-1,   Х₂ = А^-n, Х₃ = Аⁿ, …,  де n – ціле число.

Властивість. Усі квадратні невироджені матриці В комутують з квадратною невиродженою матрицею Bⁿ.

Властивість. Усі квадратні невироджені матриці В, що комутують з квадратною невиродженою матрицею А, можна подати у вигляді многочленів від матриці А у тому і тільки у тому випадку, якщо усі характеристичні числа матриці А попарно взаємно прості.

Властивість. Усі квадратні діагональні матриці В комутують з квадратною діагональною матрицею А, якщо мають однакові розміри.

Властивість. Усі квадратні матриці В вигляду

В=(	a	-b	)
	b	а

 комутують з квадратною матрицею А вигляду,

А=(	k	-m	)
	m	k

Тобто АВ=ВА.

Матричне рівняння АХ+ХА =В   

До речі,  матричне рівняння

АХ+ХА =В    (10)

може мати розв’язок Х серед комутативних матриць до матриці А.   Якщо скористатися властивістю комутативності  матриць Х і А, то

2ХА =В

Якщо останню рівність помножити на 0,5, то  маємо

ХА =0,5В

Якщо останню рівність справа помножити на матрицю А^-1, то  маємо

Х=0,5ВА^-1

або

Х=0,5 А^-1В.

Властивість рівняння АХ + ХВ = С.

Якщо існує необмежений інтеграл від матриці e^АtBe^Atdt, тобто має місце числова матриця Х:

Х =  - ò  ₀  ⁺⁰⁰ (e^АtСe^Вt)dt,

то

АХ + ХВ = С

і Х – єдиний розв’язок.