Поняття про обернену матрицю. Дії з матрицями

Модуль 3

Приклади застосування матриць в алгебрі

Приклад 1. (Теорія лінійних рівнянь)Лінійне рівняння з двома змінними

ax + by = c

 можна записати матричною мовою. А саме рядкову матрицю

(х; у)

помножити на  стовпчикову матрицю

(	a	)
	b

А саме отримаємо рівняння яке можна ототожнювати з добутком двох матриць рядкової та стовпчикової або з скалярним добутком двох векторів n(x;y) i m(a;b):

(х,у)(	a	)=	ax + by	=	c
	b

Якщо с =   ax + by  =1, тобто добуток двох матриць

(х,у)(	a	)=	ax + by	=	1
	b

то вектори n(x;y) i n^-`1(a;b) називаються взаємно оберненими.

Якщо с =   ax + by  = 0, тобто добуток двох матриць

(х,у)(	a	)=	ax + by	=	0
	b

то вектори n(x;y) i m(a;b) називаються перпендикулярними.

Якщо с =   ax + by  > 0, тобто добуток двох матриць

(х,у)(	a	)=	ax + by	>	0
	b

є матриця 1х1, з додатним елементом, то вектори n(x;y) i m(a;b) мають гострий кут між своїми напрямами.

Якщо с =   ax + by  < 0, тобто добуток двох матриць

(х,у)(	a	)=	ax + by	<	0
	b

то вектори n(x;y) i m(a;b) мають тупий кут між своїми напрямами.

Приклад 2. (Теорія чисел та її узагальнення). Подібно до того, як звичайний дріб 8/1 ототожнюють з дійсним числом 8, так само математики ототожнюють квадратну діагональну матрицю 2х2 вигляду

(	а	0	)
	0	а

з дійсним числом а.

Дії з діагональними матрицями

Над діагональними матрицями можна виконувати дії так, як і над дійсними числами.

Додавання дійсних чисел  а та b ототожнюємо з додаванням двох діагональних матриць

(	а	0	)+(	b	0	) = (	а+b	0	)
	0	а		0	b		0	а+b

Віднімання дійсних чисел  а та b ототожнюємо з відніманням двох діагональних матриць

(	а	0	)-(	b	0	) = (	a-b	0	)
	0	а		0	b		0	a-b

Множення дійсних чисел  а та b ототожнюємо з множенням двох діагональних матриць

(	а	0	)(	b	0	) = (	аb	0	)
	0	а		0	b		0	аb

Ділення дійсних чисел  а та b ототожнюємо з діленням двох діагональних матриць

(	а	0	):(	b	0	) = (	a/b	0	)
	0	а		0	b		0	а/b

Піднесення до дійсного степеня дійсних чисел, тобто а в степені b, ототожнюємо з піднесенням до степеня b діагональної матриці

(	а	0	)	b	=	(	аb	0	)
	0	а					0	аb

Знаходження тригонометричного значення від дійсного числа а ототожнюємо з діагональною матрицею

sin	(	а	0	) = (	sinа	0	)
		0	а		0	sinа

cos	(	а	0	) = (	cosа	0	)
		0	а		0	cosа

tg	(	а	0	) = (	tgа	0	)
		0	а		0	tgа

ctg	(	а	0	) = (	ctgа	0	)
		0	а		0	ctgа

Піднесення експоненти до  степеня дійсного числа а ототожнюємо з діагональною матрицею, як показником експоненти:

e	(	а	0	) = (	eа	0	)
		0	а		0	eа

Знаходження логарифму (з додатною неодиничною основою а) дійсного додатного числа b ототожнюємо з діагональною матрицею під знаком логарифма

loga	(	b	0	) = (	logab	0	)
		0	b		0	logab

Приклад 3. (Теорія чисел та її узагальнення). Подібно до того, як десятковий дріб 0,81 ототожнюють з відсотком 81%, так само математики ототожнюють квадратну діагональну матрицю 2х2 вигляду

а	-b
b	а

з комплексним числом а + bi. При цьому уявна одиниця i²= -1 ототожнюється з квадратною матрицею 

0	-1
1	0

яка є одним із розв’язків квадратного матричного рівняння Х² = 1, з невідомою квадратною матрицею Х.

До речі, комплексне число а + bi можна записати як суму двох квадратних матриць.

а	-b	=	а*	1	0	+ b*	0	-1
b	а			0	1		1	0

Іноді розглядають багатовимірні матриці(до речі, тензори – це тривимірні матриці kxmxn) або  матриці нестандартної, непрямокутної форми. В даній статті вони розглядатися не будуть.

Класичне застосування матриць в математиці.

Матриці є корисними для запису даних, що залежать від двох категорій, наприклад: для коефіцієнтів систем лінійних рівнянь та лінійних перетворень.

Приклад.  Система лінійних рівнянь

1 a1	+2 a2	+3 a3	=	2
1 a1	+2 a2	+7 a3	=	3
4 a1	+9 a2	+2 a3	=	7
6 a1	+1 a2	+5 a3	=	2

Ця система може бути записана за допомогою прямокутної таблиці чисел, тобто матриці, таким чином

1	2	3	*	a1	=	2
1	2	7		a2		3
4	9	2		a3		7
6	1	5		a4		2

Іноді матриці використовують для позначення лінійних перетворень між двома векторними величинами (а_i)₁^m та (b_i) ₁^m.

Приклад.

1	2	3	*	a1	=	b1
1	2	7		a2		b2
4	9	2		a3		b3
6	1	5		a4		b4

До речі, довільній квадратній матриці другого порядку відповідає лінійне перетворення точок площини. І навпаки, лінійному перетворенню точок площини ставлять у відповідність таблицю чисел 2х2, яку називають матрицею лінійного перетворення. Ця матриця має два рядки і два стовпці, тому її називають квадратною матрицею другого порядку. Наведемо приклади так званих лінійних перетворень точок площини:   паралельне перенесення; поворот; симетрія відносно прямої, симетрія відносно точки, гомотетія. Кожне з цих перетворень має оригінальний вигляд відповідної матриці.

Результатом послідовного виконання двох лінійних перетворень є знову лінійне перетворення, його записують як множення двох матриць, що задають ці лінійні перетворення.  

Модуль 4

ВИЗНАЧНИК  КВАДРАТНОЇ МАТРИЦІ

Визначник( детермінант) квадратної матриці — це одна з найважливіших характеристик квадратних матриць.

Означення. Визначник |А| = detA квадратної матриці першого порядку (тобто розміром 1х1) – це число, яке дорівнює елементу даної матриці, |А| = a₁₁.

Приклад. Нехай квадратна матриця першого порядку має вигляд || a₁₁|| = ||-0,3||. Визначник цієї матриці |А| = -0,3.

Означення. Визначник |А|= detA квадратної матриці другого порядку (тобто розміром 2х2)

A	=	a11	a12
		a21	a22

 – це число, що дорівнює |А| =  detA = а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂.

Означення. Квадратна матриця 2х2 називається особливою(виродженою), якщо її визначник дорівнює нулю, |А| =  detA = а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂ = 0.

Приклад. Нехай квадратна матриця другого порядку має вигляд

В	=	-9	-10
		-3	-2

Визначник цієї матриці |В| = -9*(-2)-(-10)*(-3) = 18 -30 = -12.

Примітка. 1)Визначник діагональної квадратної матриці розміром 2х2 дорівнює добутку усіх елементів головної діагоналі. 

2) Визначник трикутної матриці, розміром 2х2 дорівнює добутку усіх елементів головної діагоналі.

3) Якщо у квадратної матриці розміром 2х2 один із рядків складається із нульових елементів, то визначник цієї матриці дорівнює нулю.

Означення. Визначник |А|= detA квадратної матриці третього порядку (тобто розміром 3х3)

A	=	a11	a12	a13
		a21	a22	a23
		a31	a32	a33

 – це число, що дорівнює

|А| =  detA = а₁₁(а₃₃а₂₂ – а₂₃а₃₂) – а₂₁(а₁₂а₃₃ – а₁₃а₃₂)  + а₃₁(а₁₂а₂₃ – а₂₂а₁₃) 

Приклад.  Обчислимо визначник матриці

A	=	1	2	-3
		3	-2	-1
		1	-1	5

отримаємо |А| =  detA = а₁₁(а₃₃а₂₂ – а₂₃а₃₂) – а₂₁(а₁₂а₃₃ – а₁₃а₃₂)  + а₃₁(а₁₂а₂₃ – а₂₂а₁₃) = 1(-5*2 – 1*1) – 3(2*5 – 1*3)  + 1(-2*1 – 2*3)  =

= -11-21-8 = -40.

 

Властивості визначників

1.           Для довільної матриці detA = detA^т .

2.           Величина визначника не зміниться: якщо замінити його стовпці рядками; якщо до одного рядка додати яку-небудь лінійну комбінацію інших рядків.

3.           Якщо якийсь рядок матриці помножити на довільне число, то її визначник помножиться на це число.

4.           Визначник матриці, що міститься два пропорційні рядки( тобто рядки, які відрізняються тільки множником), дорівнює нулеві.

5.           Якщо до одного рядка матриці додати другий рядок матриці, помножений на довільне ненульове число, то визначник залишиться той самий.

6.           Визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників цих матриць. detAВ = detA detВ

7.           Визначник діагональної матриці дорівнює добутку усіх елементів головної діагоналі.

8.           Визначник трикутної матриці дорівнює добутку усіх елементів головної діагоналі.

9.           Від перестановки двох рядків(двох стовпців) визначник змінює тільки знак.

10.      Визначник дорівнює нулю, якщо: стовбці (рядки) лінійно залежні; якщо усі елементи якогось стовпчика (рядка)  дорівнюють нулю; два стовбці (рядки)  однакові.

11.      Спільний множник якогось рядка можна винести за знак визначника.

Застосування визначника квадратної матриці другого порядку.

Приклад 1. Площа паралелограма є модулем визначника квадратної матриці 2×2, утвореної із координат двох векторів зі спільним початком, на яких побудований даний паралелограм.

Нехай паралелограм задано двома векторами m(a; b) i n(c; d), які відкладені від точки (0; 0) координатної площини. Утворимо квадратну матрицю другого порядку із цих векторів, вона має вигляд

В	=	а	b
		c	d

Визначник цієї матриці |В| = аd - bc. Тоді площа даного паралелограма рівна S_парал. = |аd - bc| кв.од.

Приклад 2. Площа трикутника є половиною модуля  визначника квадратної матриці 2×2, утвореної із координат двох векторів зі спільним початком, на яких побудований даний трикутник.

Нехай трикутник задано двома векторами m(a; b) i n(c; d), які відкладені від точки (0; 0) координатної площини. Утворимо квадратну матрицю другого порядку із цих векторів, вона має вигляд

В	=	а	b
		c	d

Визначник цієї матриці |В| = аd - bc. Тоді площа даного трикутника рівна S_парал. = 0,5|аd - bc| кв.од.

Приклад 3. При розв’язуванні системи лінійних рівнянь варто робити перевірку на існування єдиного розв’язку системи лінійних рівнянь. Якщо визначник квадратної матриці цієї системи не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок.

Нехай дано систему двох лінійних рівнянь

a11 х	+ a12 у	=	b1
a21 х	+a22 у	=	b2

Ця система може бути записана за допомогою прямокутної таблиці чисел, тобто квадратної матриці 2х2, таким чином

a11	a12	*	х	=	a11 х + a12 у	=	b1
а21	a22		у		a21 х +a22 у		b2

Якщо визначник системи лінійних рівнянь detA = а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂ не дорівнює нулю, то система має один єдиний розв’язок, який шукають за формулами Крамера:

х = (b₁а₂₂ – b₂а₁₂)/ (а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂),

y = (а₁₁b₂ – а₂₁b₁)/ (а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂).

Приклад 4. Нехай, матриця

A	=	a11	a12
		a21	a22

утворена координатами двох векторів.

m(a11	a12)
n(a21	a22)

Два вектори m || n колінеарні(тобто лежать на паралельних прямих) тоді і тільки тоді, коли матриця, що утворена координатами цих двох векторів особлива, тобто має нульовий визначник |А| =  detA = а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂ = 0. А це в свою чергу означає, що: 1) один із векторів може бути записаний як добуток іншого вектора на число  k = a₁₁:a₂₁ = a₁₂:a₂₂. Якщо число k – додатне, то вектори мають однаковий напрям, якщо k – від’ємне, то вектори мають протилежний напрям.

Приклад 5. Якщо визначник квадратної матриці не дорівнює нулю, то таку матрицю називають неособливою. Визначник неособливої квадратної матиці використовують для знаходження матриці А^-1, що обернена до даної матриці А.

A	=	a11	a12
		a21	a22

Тобто при відомій квадратній матриці А, розміром 2х2, треба знайти обернену матрицю А^-1 таку, що виконується матрична рівність

І =АА^-1,

де І – одинична діагональна матриця, тобто

І	=	1	0
		0	1

Обернена матриця A^-1 одна єдина і має вигляд:

A-1 =	1/( а11а22 – а21а12)*(	a22	-a12	)
		-a21	a11

Приклад 6. Визначник |А|= detA квадратної матриці третього порядку (тобто розміром 3х3) дає можливість знаходити обернену матрицю до даної:

A	=	a1	a2	a3
		b1	b2	b3
		c1	c2	c3

Нагадаємо, що для матриці 3х3 – це число, що дорівнює

|А| =  detA = а₁(b₂c₃ – c₂b₃) – b₁(а₂c₃ – а₃c₂)  + а₃₁(а₂b₃ – b₂а₃) 

Обернена матриця A^-1 одна єдина і має вигляд:

A-1=(detA)-1	(	b2c3 – b3c2	а3c2 – а2c3	а2b3 – а 3b 2	)
		b3c1 – b1c3	а1c3 – а3c1	а3b1 – а 1b 3
		b1c2 – b2c1	а2c1 – а1c2	а2b3 – а 2b 1

 

Модуль 5

Властивості квадратних матриць

Лінійне перетворення двох величин

Означення. Перетворення величини

Х =( х_1, х_2, х_{3, …} х_m )

у величину 

У =( у_1, у_2, у_{3, …} у_n )

за допомогою перетворення 

|| a_ij ||_mxn Х = У

називають лінійним перетворенням двох величин.  Коефіцієнти цього перетворення утворюють прямокутну матрицю, розміром  mxn.

Приклад. Лінійне перетворення можна записати таким чином.

1	2	3	*	x1	=	y1
1	2	7		x2		y2
4	9	2		x3		y3
6	1	5		x4		y4

Будь-яке лінійне перетворення двох величин однозначно задається прямокутною матрицею.

Означення. Квадратною матрицею порядку n називається матриця, яка має n рядків та n стовпчиків. Число  n – називають порядком квадратної матриці.

Приклад. 1)Будь-яке число – це квадратна матриця першого порядку.

А = ||a₁₁|| = 3.

2)   Квадратна матриця другого порядку.

A	=	a11	a12	=	-5	3
		a21	a22		4	1

3)   Квадратна матриця третього порядку.

A	=	a11	a12	a13	=	1	4	3
		a21	a22	a23		3	6	4
		a31	a32	a33		4	7	0

4)   Квадратна матриця n-ого порядку.

A	=	a11	a12	a13	…	a1n
		a21	a22	a23	…	a2n
		a31	a32	a33	…	a3n
		…	…	…	…	…
		an1	an2	an3	…	ann

Числа a_ij  називаються елементами квадратної матриці || a_ij ||_mxn. Положення або розташування кожного елемента в матриці визначається номерами рядка(цей індекс елемента стоїть на першому місці) і стовпчика(цей індекс елемента стоїть на другому місці), в яких знаходиться цей елемент. Положення елемента матриці визначається двома числами-індексами.

Наприклад, елемент a_ij  знаходиться в i-му рядку та j-му стовпчику матриці А.

Нульова матриця
В лінійній алгебрі нульова матриця О — матриця всі елементи якої рівні нулю.
Приклад нульової матриці:

О	=	0	0	0	…	0
		0	0	0	…	0
		0	0	0	…	0
		…	…	…	…	…
		0	0	0	…	0

Властивості нульової матриці

Нульова матриця є матрицею лінійного перетворення, що переводить довільний вектор у нульовий вектор.

Діагональна матриця. Одинична матриця

Квадратна матриця nxn має головну діагональ. До головної діагоналі належать  n чисел, які розташовані на місцях з однаковими індексами, тобто числа a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₄₄, … , a_nn – утворюють головну діагональ.

Означення. Матриця D називається діагональною, якщо усі числа на головній діагоналі не рівні 0,  а числа поза межами головної діагоналі рівні 0.

Позначення діагональної матриці.

   D = diag[ a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₄₄, … , a_nn].

Приклад.     D = diag[ 2, 4, -4, … , -8].

D	=	2	0	0	…	0
		0	4	0	…	0
		0	0	-4	…	0
		…	…	…	…	…
		0	0	0	…	-8

Означення. Матриці І називається одиничними, якщо усі числа на головній діагоналі рівні 1,  а числа поза межами головної діагоналі рівні 0.

Приклад. Одиничні матриці можуть бути різних розмірів від 1х1 до nxn.

І	=	1	0	0	…	0
		0	1	0	…	0
		0	0	1	…	0
		…	…	…	…	…
		0	0	0	…	1

Таким чином, одинична матриця — це квадратна матриця розміру  n з одиницями на головній діагоналі та нулями у всіх інших елементах.
Зазвичай позначається як  І або Е, іноді з індексом, що вказує розмірність І_n.
Одинична матриця належить до:

• діагональних,
• ортогональних,
• додатноозначених,
• ортогонально-проекційних матриць
• та бінарних матриць.

Властивості одиничних матриць.

• Квадратна матриця в нульовому степені дає одиничну матрицю того ж розміру: А⁰ = І;

• Добуток невиродженої квадратної матриці на обернену матрицю дає одиничну матрицю: А¹А^-1 = І_n;

• Оберненою до одиничної матриці є вона сама: І_n^{- 1} = І_n;

• Визначник одиничної матриці І_n рівний +1, а ранг та слід рівні
• Власними значеннями І_n одиничної матриці є (+1) кратності
• Множення довільної матриці на одиничну відповідної розмірності дає в результаті ту ж саму матрицю, тобто вона є нейтральним елементом для множення матриць:

А І_n  = І_n А= А;

Зокрема, одинична матриця І_n є нейтральним елементом для GL(n) загальної лінійної групи (групи всіх невироджених квадратних матриць розміру ).

Трикутні матриці

Означення. Матриця Т називається верхньою трикутною, якщо усі числа під головною діагоналлю рівні 0. 

Приклад.

Т	=	5	3	4	…	7
		0	4	-6	…	0
		0	0	5	…	1
		…	…	…	…	…
		0	0	0	…	2

Означення. Матриця N називається нижньою трикутною, якщо усі числа нaд головною діагоналлю рівні 0. 

Приклад.

N	=	5	0	0	…	0
		4	4	0	…	0
		7	1	5	…	0
		…	…	…	…	…
		3	0	5	…	2

Одиничні та діагональні матриці належать до трикутних матриць.

Властивості трикутних матриць

• Трикутна матриця в нульовому степені дає одиничну матрицю того ж розміру: А⁰ = І;

• Добуток невиродженої трикутної матриці на обернену матрицю дає одиничну матрицю: А¹А^-1 = І_n;

• Оберненою до трикутної матриці є трикутна матриця.

• Визначник тикутної матриці рівний добутку діагональних елементів, а ранг рівний кількості ненульових діагональних елементів.