НІЛЬПОТЕНТНІ МАТРИЦІ

Модуль 11.

НІЛЬПОТЕНТНІ  МАТРИЦІ

Означення. Нільпотентна  матриця  A (або матриця-нільпотент A) – це квадратна матриця, що задовольняє рівності  

Аⁿ = 0

для деякого натурального числа n. Мінімальне значення n, для якого справедлива це рівність Аⁿ = 0, називається індексом нільпотентності матриці А.

Приклади. Матриця-нільпотент A розміром 2х2 з індексом 2

А=(	0	1	)
	0	0

А2 =(	1	0	)(	1	0	)=(	1	0	)
	0	1		0	1		0	1

Матриця-нільпотент V розміром 3х3 з індексом 3

V=(	0	1	0	)
	0	0	1
	0	0	0

Властивості нільпотентних матриць

Розгляд нільпотентів часто виявляється корисним при розв’язуванні матричних рівнянь  Аⁿ = 0.

Приклад.  Якщо  f(А) = Аⁿ, і для матриці А існує жорданова форма

А=Т*J(А)*Т ^-1

 Аⁿ=(Т*J(А)*Т ^-1) ⁿ

Аⁿ=(Т*J ⁿ (А)*Т ^-1)

Тоді матриця J (А) має вигляд:

0	1	0	0	…	0
0	0	1	0		0
0	0	0	1		0
0	0	0	0		0
0	0	0	0		0
….	….	….	….		1
0	0	0	0		0

Ця властивість дає можливість моделювати нільпотентні матриці.

1. Розв’язком матричного рівняння

N ⁿ = 0

є всі нільпотентні  матриці з індексом меншим, ніж натуральне число  n.

Приклад.  Якщо n = 4 i  N ⁴ = 0, то матриці-розв’язки мають вигляд

0	0	0	1
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

0	0	1	0
0	0	0	1
0	0	0	0
0	0	0	0

0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1
0	0	0	0

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

2. Нільпотентні матриці не мають обернених матриць.

Визначники  і характеристичні числа нільпотентних матриць рівні нулю.

3. Якщо N - нільпотентна матриця індексу n, то справедлива рівність

І = (N - І)( N^n-1 + N^n-2 + N^n-3 + … +N+ І ) ,

тобто матриця N-І має обернену  матрицю, яка записується у вигляді многочлена від N:

N^n-1 + N^n-2 + N^n-3 + … +N+ І ,

де І – одинична матриця.

4. Якщо І – одинична матриця,  N - нільпотентна матриця індексу n, то справедлива рівність

det(I +N) = 1.

Цікава інформація на сайті:    http://dxdy.ru/