ІДЕМПОТЕНТНІ МАТРИЦІ РОЗМІРОМ 2х2

Модуль 10.

ІДЕМПОТЕНТНІ МАТРИЦІ РОЗМІРОМ 2х2

 Означення. Матриця Х називається ідемпотентною, якщо вона є розв’язком матричного рівняння Х² = Х.

Приклади. Одинична матриця І – це ідемпотентна матриця, І²= І.

І = (	1	0	)
	0	1

(	1	0	)(	1	0	)=(	1	0	)
	0	1		0	1		0	1

Матриця D з параметром у – є  це ідемпотентна матриця, бо D²=D.

D = (	0,5	у	)
	0,25у-1	0,25

(	0,5	у	)(	0,5	у	)=(	0,5	у	)
	0,25у-1	0,25		0,25у-1	0,25		0,25у-1	0,25

Ідемпотентна матриця має характеристичні числа двох видів: або нуль, або одиницю.

Задача. Знайти розв’язки матричного рівняння Х² = Х, де Х – квадратна матриця, розміром 2х2 на полі дійсних чисел.

Якщо матриця Х має вигляд

Х = (	a	b	)
	c	d

(	a	b	)(	a	b	)=(	a2+bc	ab+bc	)
	c	d		c	d		ac+dc	d2+bc

Отримаємо нелінійну систему із чотирьох рівнянь, яка має безліч розвʼязків в дійсних числах.
a² + bc = a,             (1)
ab + bc = b,            (2)
ac + cd = c,             (3)
bc + d² = d.             (4)
Для початку, від першого рівняння віднімемо четверте рівняння:

a² + bc –  bc –  d² = a –  d, 

  a² - d² = a – d,

(a – d)( a + d –  1) = 0,

 a = d                (5)

або

d = 1 – а.            (6)

Таким чином, зменшили кількість невідомих до трьох

(а; b; c; а)  або (а; b; c; 1 - а).

Потім, п’яту рівність   підставимо у третє рівняння і отримаємо:

ac + cа= c,             

2ac  = c,             

2ac  - с = 0,             

(2a  - 1)с = 0,    

a = 0,5                (7)

або

с = 0.            (8)

Якщо а = d, то сьому рівність підставимо у четверте рівняння і отримаємо:

 bc + d² = d.                     

bc + 0,5² = 0,5.                     

bc = 0,25.                     

b = 0,25с ^-1.                     

або

с = 0,25b ^-1.                     

Таким чином, зменшили кількість параметрів у розв’язку до одного:

(0,5; b; 0,25b ^-1; 0,5) 

або

(0,5; 0,25с ^-1. c; 0,5).

Після усіх перетворень і зведень отримаємо такі ідемпотентні матриці:

Х1 = (	0,5	у	)
	0,25у-1	0,25

Х2 = (	0	0	)
	0	0

Х3 = (	0,5	0,25у-1	)
	у	0,25

Х4 = (	1	0	)
	0	1

Х5 = (	1	0	)
	0	0

Х6 = (	0	0	)
	0	1

Х7 = (	1	0	)
	1	0

Х8 = (	0	1	)
	0	1

Х9 = (	1	1	)
	0	0

Х10 = (	0	0	)
	1	1

Властивість. Ідемпотентні матриці мають характеристичні числа λ₁,  λ₂ :  0 або 1.

Властивість. Формула  ідемпотентних матриць має вигляд:

Х = Т*J(Х)*Т^-1  = Т*[diag (1, 1, 1,…1, 0, 0, ... ,0)] *Т^-1.

Запитання 1.  Дві матриці A и B ідемпотентні. Чи вірно, що АB=BА? Запитання 2.  Чи вірно, що A+B ідемпотентні?