Основні поняття про матрицю.

Спецкурс для просунутих учнів 9-11 класів

СПЕЦКУРС «ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МАТРИЦЬ»

Модуль 1

Основні поняття про матрицю.

У сучасній математиці однією із найважливіших математичних мов є матрична мова, без знання якої дуже важко висловити і записати правильні думки, отримати і довести нові результати. У матричній мові виник і розвивається особливий її підрозділ із власним алфавітом, словником, своїми правилами, законами. Ця мова призначена для опису багатьох реальних явищ і різноманітних природніх та суспільних процесів.
Шановний учень. Ситуація, в якій ти зараз перебуватимеш, нагадає тобі вивчення іноземної мови або ж рідної мови першокласником. Зазвичай, коли знайомляться з новою буквою чи новим словом, пов'язують їх із якимось рисунком, відомим об'єктом. Ось так і ми основному поняттю - матриці - поставимо у відповідність знайомий і звичний математичний образ таблицю чисел. Який зміст вкладатимемо в числові таблиці, які властивості цих математичних об’єктів побачиш і осмислиш самостійно далі. 

Означення. Матриця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), який допускає операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр(число)).

Матрицю позначають великою латинською літерою, наприклад матриця А, а їхні елементи – малими латинськими буквами а_ij.

Означення. Дві матриці А та В називаються рівними, якщо у цих матриць однакові розміри та рівні між собою елементи, що розташовані на місцях з рівними індексами. Рівні матриці записують так: А = В.

Приклад. Прямокутна таблиця чисел 

1	2	3
1	2	7
4	9	2
6	1	5

  є матрицею, розміром 4×3. Елемент A[2,3], або a₂₃ дорівнює 7.

Елементи матриці

Означення. Горизонтальні лінії в матриці звуть рядками, вертикальні — стовпцями.

Означення. Матрицю, що складається з m рядків та n стовпців, називають матрицею m-на-n (або m х n-матрицею), а m і n — її розмірністю.

Означення. Елемент матриці A, що знаходиться на перетині i-го рядка з j-им стовпчиком, називають i,j-им елементом або (i,j)-им елементом A.

Записують це як A_i,j чи A[i,j], або, в нотації мови програмування C, A[i][j].

Позначення. Часто пишуть символ

A = || a_ij ||_mxn

для означення матриці A розміром n x m, де кожен елемент матриці A[i,j] позначають як a_ij для всіх 1 ≤ i ≤ n та 1 ≤ j ≤ m.

Класифікація матриць. Якщо m чисел розташовані у вигляді стовпця, то таку матрицю називають стовпчиковою, розміром mx1 матрицею(або  вектором).

Приклад стовпчикової матриці або вектора.

1

1

4

6

Якщо n чисел розташовані у вигляді рядка, то таку матрицю називають рядковою, розміром 1xn матрицею(або  вектором).

Приклад рядкової матриці або вектора.

(1

2

3)

Зазвичай матриці представляються двовимірними (тобто, прямокутними) таблицями чисел, розміром m x n.

Приклад двовимірної матриці. Прямокутна таблиця чисел 

4	9	2
6	1	5

  є матрицею, розміром 2×3. Елемент A[2, 3], або a₂₃ дорівнює 5.

Модуль 2

Операції з матрицями

Транспонування матриць

Означення. Якщо матрицю А^т отримують із даної матриці А за допомогою заміни рядків стовпцями з тими самими номерами, то отриману матрицю називають транспонованою матрицею. А дія називається транспонування.

Приклад 1. Якщо транспонувати рядкову матрицю

(х; у)

то отримаємо  стовпчикову матрицю

(	х	)
	у

І навпаки, при транспонуванні вектора-стовпчика отримаємо вектор-рядок.

Приклад 2. Якщо дано матрицю 2х2  

(	а	b	)
	c	d

то після транспонування отримаємо матрицю 2х2

(	а	c	)
	b	d

Зрозуміло, що у квадратної матриці nхn при транспонуванні відбувається взаємна перестановка елементів відносно головної діагоналі, утвореної елементами а₁₁, а₂₂, … a_nn.

У прямокутної матриці mхn при транспонуванні відбувається взаємна перестановка елементів рядка на елементи  відповідного стовпчика. Змінюються місцями номери індексів: із а_mn на а_nm.

Запитання 1. Чи вірно, що (А^т) ^т =А?

Запитання 2. Чи вірно, що ((.. (А^т)…) ^т) ^т =А?

Запитання 3. Чи вірно, якщо А^т = В^т, тоді А = В? А навпаки?

Запитання 4. Чи існують такі матриці, що А^т =А?

ВИЗНАЧНИК  КВАДРАТНОЇ МАТРИЦІ

Визначник( детермінант) квадратної матриці — це одна з найважливіших характеристик квадратних матриць.

Означення. Визначник |А| = detA квадратної матриці першого порядку (тобто розміром 1х1) – це число, яке дорівнює елементу даної матриці, |А| = a₁₁.

Приклад. Нехай квадратна матриця першого порядку має вигляд || a₁₁|| = ||-0,3||. Визначник цієї матриці |А| = -0,3.

Означення. Визначник |А|= detA квадратної матриці другого порядку (тобто розміром 2х2)

А=(	a11	a12	)
	a21	a22

 – це число, що дорівнює |А| =  detA = а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂.

Означення. Квадратна матриця 2х2 називається особливою(виродженою), якщо її визначник дорівнює нулю,

|А| =  detA = а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂ = 0.

Приклад. Нехай квадратна матриця другого порядку має вигляд

В=(	-9	-10	)
	-3	-2

Визначник цієї матриці |В| = -9*(-2)-(-10)*(-3) = 18 -30 = -12.

Примітка. 1)Визначник діагональної квадратної матриці розміром 2х2 дорівнює добутку усіх елементів головної діагоналі. 

2) Визначник трикутної матриці, розміром 2х2 дорівнює добутку усіх елементів головної діагоналі.

3) Якщо у квадратної матриці розміром 2х2 один із рядків складається із нульових елементів, то визначник цієї матриці дорівнює нулю.

Означення. Визначник |А|= detA квадратної матриці третього порядку (тобто розміром 3х3)

А=(	a11	a12	a13	)
	a21	a22	a23
	a31	a32	a33

 – це число, що дорівнює

|А| =  detA = а₁₁(а₃₃а₂₂ – а₂₃а₃₂) – а₂₁(а₁₂а₃₃ – а₁₃а₃₂)  + а₃₁(а₁₂а₂₃ – а₂₂а₁₃) 

Приклад.  Обчислимо визначник матриці

А=(	1	2	-3	)
	3	-2	-1
	1	-1	5

отримаємо |А| =  detA = а₁₁(а₃₃а₂₂ – а₂₃а₃₂) – а₂₁(а₁₂а₃₃ – а₁₃а₃₂)  + а₃₁(а₁₂а₂₃ – а₂₂а₁₃) = 1(-5*2 – 1*1) – 3(2*5 – 1*3)  + 1(-2*1 – 2*3)  =

= -11-21-8 = -40.

 

Елементарні перетворення матриці

Елементарними перетвореннями матриці називають:

1)   Множення її рядка чи стовпця на числа, що не дорівнюють нулеві;

2)   Додаванням до якогось рядка іншого рядка, помноженого на число k ≠ 0.

3)   Додаванням до якогось стовпця іншого стовпця, помноженого на число k ≠ 0.

Додатково подивись додатково сторінку про елементарні перетворення матриць:

Означення. Матрицю, яку одержують із одиничної матриці шляхом елементарного перетворення, називають елементарною.

Властивість елементарних перетворень. Довільну квадратну матрицю А елементарними перетвореннями можна звести до діагонального виду. 

До речі, перестановку двох рядків матриці можна реалізувати шляхом виконання декількох елементарних перетворень. Подумайте, як це зробити.

Додавання матриць

Якщо дано дві матриці, однакових розмірів mхn,

A = || a_ij ||_mxn

і

B = || b_j ||_mxn,

можемо означити їх суму

С = A + B

 як матрицю mхn, що утворюється додаванням відповідних елементів, тобто,

С[i, j] = (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j].

Приклад. Додамо дві квадратні матриці, розміром 2х2:

(	2	3	)+(	4	1	)=(	2+4	3+1	)=(	6	4	)
	5	0		-3	7		5-3	0+7		2	7

УВАГА. Можна додавати матриці однакових розмірів. Для суми матриць А та Х виконується переставний закон додавання. Отже, у для матриць однакових розмірів завжди виконується матрична рівність: А+Х = Х+А.

Множення матриці на скаляр(на число)

Якщо дано матрицю A і число c, можемо означити множення на скаляр cA як (cA)[i, j] = cA[i, j].
Приклад.

4	*(	2	3	)=(	2*4	3*4	)=(	8	12	)
		5	0		5*4	0*4		20	0

З двома операціями додаванням та множенням на число множина M(m, n, R) усіх матриць mхn з дійсними елементами є дійсним векторним простором розмірності mn.

Множення матриць

Множення двох матриць має сенс лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. Якщо A — матриця mхn (m рядків, n стовпчиків), а B — матриця nхp (n рядків, p стовпчиків), їх добуток AB є матрицею mхp (m рядків, p стовпчиків), що розраховується за формулою:

(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] для кожної пари i та j.

Множення двох квадратних матриць А та В має два різні результати. Перший результат – це матриця АВ, другий результат - це матриця ВА.

Приклад множення двох матриць розміром 2х2.

(	2	3	)*(	4	1	)=(	2*4+2*(-3)	2*1+3*7	)=(	2	23	)
	5	0		-3	7		5*4-0*3	5*1+0*7		20	5

Два результати множення двох квадратних матриць А та Х, розмірами 2х2(ліве множення та праве множення матриці А на Х:

АХ=(	a	b	)(	x	y	) = (	ax+bz	ay+bu	)
	c	d		z	u		cx+dz	cy+du

ХА=(	x	y	)(	a	b	) = (	ax+cy	bx+dy	)
	z	u		c	d		az+cu	bz+du

УВАГА. Для множення матриць А та Х не виконується переставний закон множення. Отже, у загальному випадку АХ та ХА – це різні  матриці-добутки двох однакових матриць.

Означення. Якщо дві квадратні матриці А та В при двох множеннях АВ та ВА рівні одиничній матриці І, то ці дві матриці називаються взаємно обернені.

ВА = АВ = І

В таких випадках прийнято вважати, що В = А^-1 або А = В^-1.

Означення. Матриця А^-1 називають оберненою до квадратної матриці А, якщо добток цих матриць дорівнює одиничній матриці:

А^-1А = АА^-1  = І

Обернена матриця існує для всякої квадратної матриці, яка є не виродженою, тобто коли визначник матриці А не дорівнює нулю.
Алгоритм обчислення оберненої матриці до квадратної матриці А.

1)   Обчислити визначник |А|= detA матриці А. Якщо визначник не дорівнює нулю, то А має обернену матрицю, якщо визначник дорівнює нулю, то А не має обернену матрицю;

2)   Обчислити алгебраїчні доповнення Аij усіх елементів матриці А;

3)   Записати матрицю із алгебраїчних доповнень елементів заданої матриці і транспонувати утворену матрицю;

4)   Помножити транспоновану матрицю на число (detA)^-1;

5)    Перевірити правильність обчислення прямим множення матриць і отримати:

А^-1А = АА^-1  = І.

Приклад 5. Якщо визначник квадратної матриці не дорівнює нулю, то таку матрицю називають неособливою. Визначник неособливої квадратної матиці використовують для знаходження матриці А^-1, що обернена до даної матриці А.

A	=	a11	a12
		a21	a22

Тобто при відомій квадратній матриці А, розміром 2х2, треба знайти обернену матрицю А^-1 таку, що виконується матрична рівність

І =АА^-1,

де І – одинична діагональна матриця, тобто

І	=	1	0
		0	1

Обернена матриця A^-1 одна єдина і має вигляд:

A-1 =	1/( а11а22 – а21а12)*(	a22	-a12	)
		-a21	a11

Приклад 6. Визначник |А|= detA квадратної матриці третього порядку (тобто розміром 3х3) дає можливість знаходити обернену матрицю до даної:

A	=	a1	a2	a3
		b1	b2	b3
		c1	c2	c3

Нагадаємо, що для матриці 3х3 – це число, що дорівнює

|А| =  detA = а₁(b₂c₃ – c₂b₃) – b₁(а₂c₃ – а₃c₂)  + а₃₁(а₂b₃ – b₂а₃) 

Обернена матриця A^-1 одна єдина і має вигляд:

A-1=(detA)-1	(	b2c3 – b3c2	а3c2 – а2c3	а2b3 – а 3b 2	)
		b3c1 – b1c3	а1c3 – а3c1	а3b1 – а 1b 3
		b1c2 – b2c1	а2c1 – а1c2	а2b3 – а 2b 1

Множення матриць має такі властивості:

• (AB)C = A(BC) для всіх матриць A розмірності k-на-m, B розмірності m-на-n і C розмірності n-на-p (асоціативність).
• (A + B)C = AC + BC для всіх матриць A і B розмірності m-на-n і матриць C розмірності n-на-k (дистрибутивність).
• C(A + B) = CA + CB для всіх матриць A і B розмірності m-на-n і матриць C розмірності k-на-m (дистрибутивність).

Інформація для допитливих
Зауваження 1: Комутативність при множенні матриць має місце не завжди: для добутку певних матриць A і B може бути AB ≠ BA. Але для добутку діагональних матриць виконується переставна властивість множення.

Зауваження 2: Для квадратної матриці А можна знайти таку недіагональну матрицю В, яка комутує з іншою при множенні, тобто ВА =АВ. При відомій квадратній матриці А,  наприклад, можна знайти обернену матрицю А^-1  таку, щоб виконувалася матрична рівність

І =А^-1А=АА^-1.

Зауваження 3: Якщо А=В, то завжди можна виконувати множення цих матриць зліва на деяку матрицю С, тобто,  СА=СВ. Або можна виконувати множення цих матриць справа на деяку матрицю С, тобто,  АС= ВС. Але не вірно виконувати множення матриць отак  СА=ВС, якщо це некомутативні матриці.

Зауваження 4:  Щоб виконувати дуже складні дії з квадратними матрицями (наприклад, якщо шукати матричну функцію f(A), нехай це  матрична експонента е^A від квадратної матриці А, треба спочатку перетворити матрицю А в добуток трьох матриць, тобто записати A = Т*J(А)*Т^-1, і тільки потім   обчислити е^A як добуток трьох матриць:

е^A = Т*е^J(А)*Т^-1 ,

де у найкращому випадку отримаємо просту діагональну матрицю

J(А) = diag (λ₁. .. λ_n)),

у найгіршому випадку, квазідіагональну матрицю J(А)  вигляду:

λ1	1	0	0	…	0
0	λ1	0	0		0
0	0	λ2	1		0
0	0	0	λ2		0
0	0	0	0		0
….	….	….	….		….
0	0	0	0		λm

У випадку якщо треба обчислювати довільну матричну дію тобто матричну функцію f(A),  варто вміти коректно перетворювати квадратні матриці на добуток їй подібних матриць, але такі перетворення вимагають великої кількості дій і неабиякої кмітливості та ретельності. А щоб отримати майже діагональну структуру для матриці А, або як говорять математики, квазідіагональну структуру, одним словом, треба вміти: знаходити визначник матриці, знаходити усі корені многочлена n степеня і зводити матрицю А до нормальної жорданової форми J(А), після цього знаходити матрицю переходу Т, розв’язавши матричне рівняння А*Т = Т*J(А). І остаточно перемножити три матриці, а саме

f(A)= Т*f(J(А))*Т^-1  = Т*f[diag (λ₁. .. λ_n)] *Т^-1 =

= T*[diag (f(λ₁), f(λ₂),..., f(λ_n)] *Т^-1.

  

Жорданова матриця (нормальна жорданова форма) - одне з фундаментальних понять лінійної алгебри, що має велике число додатків в різних розділах математики і фізики. Для побудови жорданової канонічної форми матриці, варто уміти вибирати базис для даних векторів, з яких складається дана матриця А так, щоб  матриця переходу Т складалася із власних векторів матриці A, тоді матриця А матиме вигляд   А=Т*J(А)*Т^-1.

Додаткова інформація.

 Означення. Жордановою матрицею називається квадратна блочно-діагональна матриця над полем K, з блоками виду

f	1	0	0	0	…. 0
0	f	1	0		…. 0
0	0	f	0		…. 0
….	….	….	….		….
0	0	0	…. 0		…. f

при цьому кожен блок J_f називається жордановою кліткою з власним значенням f (власні значення в різних блоках, взагалі кажучи, можуть збігатися).

Для довільної квадратної матриці A над алгебраїчно замкненим полем K (наприклад, полем комплексних чисел C) завжди існує квадратна невироджена (тобто оборотна, з відмінним від нуля визначником) матриця C над полем K, така, що

J = C^-1AC

є жорданова матрицею. При цьому матриця J називається жорданова формою (або жорданова нормальною формою) даної матриці A. В цьому випадку також кажуть, що жорданова матриця J над полем K подібна (або поєднана) даної матриці A. І навпаки, в силу еквівалентного співвідношення

A = CJC^-1

матриця A подібна над полем K матриці J. Неважко показати, що введене таким чином відношення подібності є відношенням еквівалентності і розбиває безліч всіх квадратних матриць заданого порядку над даним полем на непересічні класи еквівалентності.

Жорданова форма матриці визначена не однозначно, а з точністю до порядку Жорданових клітин. Точніше, дві жорданова матриці подібні над K в тому і тільки в тому випадку, коли вони складені з одних і тих же Жорданових клітин і відрізняються один від одного лише розташуванням цих клітин на головній діагоналі.

   Матриці називають антикомутативними, якщо AB = − BA. Такі матриці є дуже важливими в представленнях алгебр Лі та в представленнях алгебр Кліффорда.
Іноді корисно використовувати множення матриць для виконання елементарного перетворення над рядками(стовпцями) матриці А. Для цього достатньо виконати це перетворення над рядками одиничної діагональної матриці і помножити А зліва на одержану елементарну матрицю.
Запитання 1. Які властивості має дія додавання трьох матриць А, В, С?
Запитання 2. Як  маючи дії додавання  матриць і множення матриці на число отримати: А - В?
Запитання 3. Чи існують такі дві матриці, що дії додавання  матриць і множення матриці на число отримати:

1)   А + В = А^т + В^т?

2)    аА = (аА)^т?

3)   аАВ = (аА)^тВ^т?