Модуль 12.
ЛІНІЙНІ МАТРИЧНІ РІВНЯННЯ
Означення. Рівність, що містить невідому матрицю,
яка позначена буквою, називається матричним
рівнянням.
Означення. Вираз, що складається з матриць і дій
над ними і знаходиться по ліву частину від рівності, називається лівою частиною рівняння.
Означення. Вираз, що складається з матриць і дій
над ними і знаходиться по праву частину від рівності, називається правою частиною рівняння.
Означення. Кожний доданок лівої та правої частини
називається членом матричного рівняння.
Означення. Коренем
матричного рівняння називається таке значення
невідомої матриця, при якому це матричне рівняння перетворюється у правильну
рівність.
Означення. Розв’язати
матричне рівняння означає знайти усі його корені,
або довести, що їх не існує.
При
розв’язуванні матричних рівнянь можна використовувати такі властивості матричних рівнянь:
· Одночасне
множення обох частин матричного рівняння на неособливу числову матрицю (визначник матриці-множника)
не дорівнює нулю)або тільки справа або тільки зліва.
· Знаходження
протилежних матриць до відомих матриць-доданків і одночасне додавання до обох
частин матричного рівняння протилежної матриці.
· Знаходження
обернених матриць до відомих матриць і множення матричного рівняння на обернену
матрицю або справа або зліва.
· Замінювати
відомі матриці матрицями у вигляді нормальної жорданової форми.
Нехай А, В, С, - відомі
квадратні матриці з елементами на полі дійсних чисел R, а Х
– невідома матриця першого степеня,
тобто, над невідомою матрицею не виконується арифметична дія піднесення до
степеня.
Множина тривіальних лінійних матричних рівнянь містить
рівняння вигляду:
АХ = О,
А+Х = О,
ХВ = О,
АХВ=О,
А(Х+В) = О,
ВХВ-1 =
О,
(А-1+Х)А
= О,
ВХВ-1
+ А-1ХА =
О,
де О – нульова матриця.
Множина нетривіальних лінійних матричних рівнянь
містить рівняння вигляду:
АХ = І,
А+ВХ = І,
ХВ = І,
АХВ
+ С = І,
А-1 ХА +А =
І,
В
+ ВХВ-1 = І,
С(А+Х)В = І,
де І – одинична матриця.
АХ = В,
А+СХ = В,
ХА
= С,
АХВ = С,
АХА -1
= С,
ВХВ -1
= С,
АХ
= ХА,
АХ = А -1Х,
А -1
Х = А -1Х,
АХ
– ХВ = С,
АХА -1
+ ВХВ -1 = С та інші.
Лінійні матричні рівняння на полі дійсних чисел можуть:
А) не мати розв’язків;
Б) мати обмежену кількість розв’язків;
В) мати безліч розв’язків.
Приклади: а) Знайти невідому матрицю Х:
|
ХА=В; (
|
a
|
b
|
)(
|
2
|
1
|
)=(
|
1
|
0
|
)
|
|
c
|
d
|
2
|
1
|
0
|
1
|
Розвʼязування.
Так як detA = 0,
(не існує матриці, що обернена до матриці А),
то матричне рівняння не має розв’язку. Це можна зрозуміти із матричного рівняння, що
отримане після множення двох матриць у лівій частині даного рівняння:
|
(
|
2(а+b)
|
a+b
|
)=(
|
1
|
0
|
)
|
|
2(c+d)
|
c+d
|
0
|
1
|
Згідно останньої рівності двох матриць
одночасно не можуть виконуватися такі дві рівності:
2(а+b) = 1,
a + b = 0.
Тому не існує матриці, що задовольняє дане рівняння.
Відповідь:
немає розв’язку.
б)
Знайти невідому матрицю Х, якщо АХ=В:
|
АХ=В; (
|
0
|
1
|
)(
|
a
|
b
|
)=(
|
0
|
0
|
)
|
|
0
|
0
|
c
|
d
|
0
|
0
|
Розвʼязування.
Із матричного рівняння отримаємо:
|
(
|
0a+ с
|
0b+ d
|
)=(
|
0
|
0
|
)
|
|
0a+0c
|
0b + 0d
|
0
|
0
|
Згідно матричного рівняння можуть
виконуватися рівності:
0а + с = 0, якщо а – довільне дійсне число, с = 0.
0b + d = 0, якщо b – довільне дійсне число, d = 0.
Відповідь: Безліч
матриць, що мають вигляд:
|
X=(
|
a
|
b
|
)
|
|
0
|
0
|
де а та b –
довільні дійсні числа.
в)
Знайти невідому матрицю Х, якщо АХВ=С:
|
(
|
2
|
1
|
)(
|
a
|
b
|
) (
|
-3
|
2
|
)=(
|
-2
|
4
|
)
|
|
3
|
2
|
c
|
d
|
5
|
-3
|
3
|
-1
|
Розвʼязування. Скористаємося
тотожностями:
А-1А
= І; ВВ-1 = І.
Cпочатку
виконуємо множення даного рівняння зліва на матрицю А-1:
А-1АХВ=
А-1С,
ІХВ=
А-1С,
ХВ=
А-1С.
Потім виконуємо множення останнього
рівняння справа на матрицю В-1:
ХВВ-1= А-1СВ-1,
ХІ=
А-1СВ-1,
Х =
А-1СВ-1.
Нагадаємо формулу оберненої матриці.
Для неособливої( визначник матриці не рівний нулю) квадратної
матриці використовують формулу для знаходження матриці А-1, що
обернена до даної матриці А.
|
A=(
|
a11
|
a12
|
)
|
|
a21
|
a22
|
Тобто при відомій квадратній матриці А, розміром
2х2, треба знайти обернену матрицю А-1 таку, що виконується матрична
рівність
І =АА-1,
де І – одинична діагональна матриця, тобто
|
І=(
|
1
|
0
|
)
|
|
0
|
1
|
Обернена матриця A-1 одна
єдина і має вигляд:
|
A-1 =1/( а11а22
– а21а12)*(
|
a22
|
-a12
|
)
|
|
-a21
|
a11
|
Знайдемо дві обернені матриці А-1 та В-1.
Обчислимо визначники двох відомих матриць
detA = а11а22
– а21а12 = 2*2 – 3*1 = 1,
detВ
=
b11b22 – b21b12 = -3* (-3) – 5*2= -1,
|
А-1=(
|
2
|
-1
|
)
|
|
-3
|
2
|
|
B-1=(
|
3
|
2
|
)
|
|
5
|
3
|
Для
знаходження невідомої матриці Х виконаємо множення трьох матриць А-1СВ-1.
|
(
|
2
|
-1
|
)(
|
-2
|
4
|
) (
|
3
|
2
|
)=(
|
24
|
13
|
)
|
|
-3
|
2
|
3
|
1
|
5
|
3
|
-34
|
-18
|
Відповідь: Один
розвʼязок
|
X=(
|
24
|
13
|
)
|
|
-34
|
-18
|
Немає коментарів:
Дописати коментар