Модуль 7
ВЛАСТИВОСТІ ДОБУТКУ
ТРИКУТНИХ МАТРИЦЬ
Означення. Квадратна
матриця S
= || sij ||nxn називається симетричною, якщо Sт
= S(тобто транспонована матриця залишаються рівною даній матриці).
Отже, симетричною називають
квадратну матрицю, елементи якої симетричні щодо головної діагоналі. Якщо рядки
такої матриці зробити стовпцями і навпаки (такий процес називають
транспонуванням), то її вигляд не зміниться.
Приклади
симетричних матриць.
|
M=(
|
0
|
1
|
)
|
|
1
|
0
|
|
Z=(
|
b
|
z
|
)
|
|
z
|
b
|
|
Y=(
|
k
|
-y
|
)
|
|
-y
|
m
|
Означення. Квадратна
матриця K
= || kij ||nxn називається кососиметричною, якщо Kт
= - K.
У кососиметричній
матричні будь-які два елементи, що розташовані відносно головної діагоналі,
відрізняються один від іншого множником -1. А діагональні елементи рівні 0.
Приклади
кососиметричних матриць.
|
N= (
|
0
|
1
|
)
|
|
-1
|
0
|
|
K= (
|
0
|
k
|
)
|
|
-k
|
0
|
|
D= (
|
0
|
-d
|
)
|
|
d
|
0
|
Властивість.
Добуток двох переставних між собою кососиметричних матриць є симетричною
матрицею.
|
(
|
0
|
-а
|
)(
|
0
|
b
|
) = (
|
ab
|
0
|
)
|
|
а
|
0
|
-b
|
0
|
0
|
ab
|
Запитання.
Чи вірно, що добуток симетричної матриці 2х2 на
кососиметричну матрицю 2х2 є симетрична матриця 2х2? Обгрунтувати відповідь.
ВЛАСТИВОСТІ ДОБУТКУ ТРИКУТНИХ МАТРИЦЬ
Властивість 1. Нехай
квадратна матриця другого порядку.
|
A
|
=
|
a11
|
a12
|
|
a21
|
a22
|
Якщо числа а11 та а11а22
– а21а12 не рівні нулю, то будь-яку матрицю А можна записати у вигляді добутку нижньої
трикутної матриці розміром 2х2 на
верхню трикутну матрицю розміром 2х2.
|
(
|
x
|
0
|
)(
|
a
|
b
|
) = (
|
ax
|
xb
|
)
|
|
y
|
z
|
0
|
c
|
ya
|
yb+zc
|
Властивість 2. Нехай
|
S
|
=
|
s11
|
s
|
|
s
|
s22
|
квадратна
симетрична матриця.
Якщо числа s11
та s11s22 – s2
не рівні нулю, то матрицю
S
записати у вигляді добутку ZZт
нижньої трикутної матриці Z
розміром
2х2 на верхню трикутну матрицю Zт розміром
2х2.
|
(
|
m
|
0
|
)(
|
m
|
a
|
) = (
|
m2
|
am
|
)
|
|
а
|
n
|
0
|
n
|
am
|
a2 +n2
|
Властивість 3. Нехай
W-
нижня трикутна одинична матриця
|
W
= (
|
1
|
0
|
)
|
|
1
|
1
|
Властивості степенів нижньої трикутної
одиничної матриця
|
W2 =
|
(
|
1
|
0
|
)(
|
1
|
0
|
) = (
|
1
|
0
|
)
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
……………………………….
|
W3=
|
(
|
1
|
0
|
)(
|
1
|
0
|
) = (
|
1
|
0
|
)
|
|
2
|
1
|
1
|
1
|
3
|
1
|
………………………………………………………………..
|
Wn =
|
(
|
1
|
0
|
)(
|
1
|
0
|
) = (
|
1
|
0
|
)
|
|
n-1
|
1
|
1
|
1
|
n
|
1
|
……………………………………………………………………..
|
W-1W =
|
(
|
1
|
0
|
)(
|
1
|
0
|
) = (
|
1
|
0
|
)
|
|
-1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
……………………………………………….
|
W -n =
|
(
|
1
|
0
|
)(
|
1
|
0
|
) = (
|
1
|
0
|
)
|
|
1-n
|
1
|
1
|
1
|
-n
|
1
|
Властивість 4. Нехай
V-
верхня трикутна одинична матриця
|
V =
(
|
1
|
1
|
)
|
|
0
|
1
|
Властивості степенів верхньої трикутної
одиничної матриця
|
V2 =
|
(
|
1
|
1
|
)(
|
1
|
1
|
) = (
|
1
|
2
|
)
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
……………………………….
|
V3=
|
(
|
1
|
2
|
)(
|
1
|
1
|
) = (
|
1
|
3
|
)
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
3
|
1
|
………………………………………………………………..
|
Vn =
|
(
|
1
|
n-1
|
)(
|
1
|
1
|
) = (
|
1
|
n
|
)
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
……………………………………………………………………..
|
V-1V =
|
(
|
1
|
-1
|
)(
|
1
|
1
|
) = (
|
1
|
0
|
)
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
……………………………………………….
|
V -n =
|
(
|
1
|
0
|
)(
|
1
|
1
|
) = (
|
1
|
-n
|
)
|
|
1-n
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
Властивість 5. Нехай T- нижня бічна трикутна
одинична матриця
|
T =
(
|
0
|
1
|
)
|
|
1
|
1
|
або
|
T =
(
|
F0
|
F1
|
)
|
|
F1
|
F2
|
де
{Fn} – послідовність чисел Фібоначчі, кожний член якої є сумою
двох попередніх членів:
…………., F- 7 = 13; F- 6 = -8; F- 5 = 5; F- 4 = -3;
F- 3 = 2; F- 2= -1; F- 2= 1; F0 = 0; F1 = 1; F2= 1;
F3= 2; F4 = 3; F5 = 5; F6= 8; F7= 13; F8 = 21; ……
Властивості степенів правобічної
трикутної одиничної матриця
|
Т2 =
|
(
|
F1
|
F2
|
)
|
|
F2
|
F3
|
……………………………….
|
Т2=
|
(
|
1
|
1
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
1
|
2
|
)
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
2
|
3
|
|
Т3 =
|
(
|
F2
|
F3
|
)
|
|
F3
|
F5
|
|
Т3=
|
(
|
1
|
1
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
1
|
2
|
)
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
2
|
3
|
………………………………………………………………..
|
Т4 =
|
(
|
F3
|
F4
|
)
|
|
F4
|
F5
|
|
Т4=
|
(
|
1
|
2
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
2
|
3
|
)
|
|
2
|
3
|
1
|
1
|
3
|
2+3
|
………………………………………………………
|
Т5 =
|
(
|
F4
|
F5
|
)
|
|
F5
|
F6
|
|
Т5=
|
(
|
1
|
3
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
3
|
5
|
)
|
|
3
|
5
|
1
|
1
|
5
|
3+5
|
……………………………………………………….
|
Т6=
|
(
|
1
|
5
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
5
|
8
|
)
|
|
5
|
8
|
1
|
1
|
8
|
5+8
|
………………………………………………………
|
Тn =
|
(
|
Fn-1
|
Fn
|
)
|
|
Fn
|
Fn+1
|
|
Т-1 =
|
(
|
2
|
-1
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
-1
|
1
|
)
|
|
-1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
……………………………………………………………………..
|
Т-1Т =
|
(
|
-1
|
1
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
1
|
0
|
)
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
……………………………………………….
|
Т -n =
|
(
|
F-2-n
|
F-n-1
|
)(
|
1
|
1
|
) = (
|
F-1-n
|
F-n
|
)
|
|
F-n-1
|
F-n-1
|
0
|
1
|
F-n
|
F-n+1
|
Немає коментарів:
Дописати коментар