МОДУЛЬ 8.
СТЕПІНЬ МАТРИЦЬ
РОЗМІРОМ 2х2 З ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ
Два правила множення двох квадратних матриць А та Х, розмірами 2х2(ліве
множення та праве множення матриці А на Х:
|
АХ=(
|
а
|
b
|
)(
|
x
|
y
|
) = (
|
ax+bz
|
аy+bu
|
)
|
|
c
|
d
|
z
|
u
|
cx+dz
|
сy+du
|
|
ХА=(
|
x
|
y
|
)(
|
a
|
b
|
) = (
|
ax+cy
|
аz+cu
|
)
|
|
z
|
u
|
c
|
d
|
bx+dy
|
bz+du
|
УВАГА. Для множення матриць А та Х не виконується переставний
закон множення. Отже, у загальному випадку АХ та ХА – це різні матриці-добутки двох однакових матриць.
Означення. Якщо дві квадратні матриці А та В при двох множеннях АВ та ВА рівні одиничній
матриці І, то ці дві матриці називаються взаємно
обернені.
ВА = АВ = І
В таких випадках
прийнято вважати, що В = А-1 або А = В-1.
І = А-1А = В-1В = А-1А = ВВ-1 =
АА-1 = І.
Означення. І0 = І. де І - одинична матриця.
Означення. Е0 - не існує, Е – нульова матриця.
Означення. Алв = АІ – це ліве множення на
одиничну матрицю.
Означення. Апр = ІА – це праве множення на
одиничну матрицю.
Властивість. Апр = АІ
= = ІА = Алв.
Означення. І = А0
Властивість матричної одиниці
І.
І = А-1А0А
= АА0А-1
І = А-1А-1А0АА.
Означення. Квадрат матриці А – це добуток двох рівних матриць А: АА = А2.
Означення. Від’ємний квадрат матриці А– це добуток двох рівних обернених матриць А-1: А-1А-1 =
А-2.
Властивість. І = А-1А-1А0АА
= ААА0А-1А-1 = А2А0А-2
= А-2А0А2.
Означення. Куб матриці А – це добуток трьох рівних матриць А: ААА = А3.
Означення. Від’ємний куб матриці А – це добуток трьох рівних обернених матриць А-1: А-1А-1А-1
= А-3.
Властивість.
І = А-1А-1А-1А0АААА
= АААА0А-1А-1А-1 = = А3А0А-3
= А-3А0А3.
Властивість. І-n = І-1 = І0 = І1
= І2 = І3 = … = Іn-1 = Іn = І.
І-n І0 Іn = І-1* І0* І1 = І2
= І3 = … = Іn-1 = І-n = І.
Означення. Додатний степінь матриці А з цілим показником – це добуток n
рівних матриць А: АА…А = Аn.
Властивість. Якщо виконувати тільки ліве множення матриць А у виразі
А(А…А) = (Алв ) n
та виконувати
тільки праве множення у виразі
(АА…А)А = (Апр ) n,
то в загальному
випадку отримаємо дві різні матриці.
Означення. Від’ємний степінь матриці А з цілим показником – це добуток n
рівних обернених матриць А-1:
А-1А-1…А-1 = А-n.
Властивість. Якщо n разів виконувати тільки ліве множення матриць
А у виразі
А-1(А-1А-1…А-1) = (Алв
)-n
та n разів виконувати тільки праве множення у
виразі
(А-1А-1… А-1)
А-1 = (Апр ) -n
,
то в загальному
випадку отримаємо дві різні матриці.
Властивість. Якщо n
> 3, то
(Апр ) –n =
(Апр )
n.
Властивість. Якщо n
> 3, то
(Алв ) –n =
(Алв )
n.
Властивість. (Алв )
–n(Апр ) n=І.
Властивість. (Апр )
–n(Алв ) n=І.
Властивість.
І = А-1А-1…А-1А0ААА…А = АА…АА0А-1А-1…А-1 = = АnА0А-n=
А-nА0Аn.
Приклад 1.
Множення матриць з одиничними елементами.
Нехай
|
І = (
|
1
|
0
|
)
|
|
0
|
1
|
тоді має місце такі
властивості
І-n = І-1 = І0 = І1
= І2 = І3 = … = Іn-1 = Іn =
І,
де І
– одинична матриця.
|
(
|
1
|
0
|
)(
|
1
|
0
|
)=(
|
1
|
0
|
)
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
Нехай В
- бічна діагональна одинична матриця
|
В = (
|
0
|
1
|
)
|
|
1
|
0
|
тоді має місце такі
властивості:
І*В=В*І = В = В-1
|
(
|
1
|
0
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
0
|
1
|
)
|
||||||||||
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
||||||||||||||
|
(
|
0
|
1
|
)(
|
1
|
0
|
) = (
|
0
|
1
|
)
|
||||||||||
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
||||||||||||||
В0 = В2 = ВВ = ВВ-1=
В2n = В-2n = І
|
(
|
0
|
1
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
1
|
0
|
)
|
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
В3= (ВВ)В = ІВ = ВВ-1В = В-1ВВ
= ВВВ-1= В2n-1 = В-3= В
|
(
|
0
|
1
|
)(
|
0
|
1
|
)(
|
0
|
1
|
) =
|
|||||||||||
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
|||||||||||||||
|
=(
|
1
|
0
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
0
|
1
|
)
|
|||||||||||
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
|||||||||||||||
Нехай Н
– наддіагональна матриця з одиницею
|
Н = (
|
0
|
1
|
)
|
|
0
|
0
|
Нехай О –
нульова матриця
|
О = (
|
0
|
0
|
)
|
|
0
|
0
|
тоді має місце такі
властивості:
НН = Н2 = Н3 = … = Нn-1 = Нn = О,
n>1
|
(
|
0
|
1
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
0
|
0
|
)
|
||||||||||
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
||||||||||||||
|
(
|
0
|
1
|
)(
|
0
|
0
|
) = (
|
0
|
0
|
)
|
||||||||||
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
||||||||||||||
Нехай Р
– піддіагональна матриця з одиницею
|
Р = (
|
0
|
0
|
)
|
|
1
|
0
|
Нехай О –
нульова НН -матриця
|
О = (
|
0
|
0
|
)
|
|
0
|
0
|
|
Q = (
|
0
|
0
|
)
|
|
0
|
1
|
|
S = (
|
1
|
0
|
)
|
|
0
|
0
|
тоді має місце такі
властивості:
РР = Р2 = Р3 = … = Рn-1 = Рn = О, n>1
|
(
|
0
|
0
|
)(
|
0
|
0
|
) = (
|
0
|
0
|
)
|
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
РН = Q
|
(
|
0
|
0
|
)(
|
0
|
1
|
) = (
|
0
|
0
|
)=Q
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
HР = S
|
(
|
0
|
1
|
)(
|
0
|
0
|
) = (
|
1
|
0
|
)=S
|
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
РН + HР = Q + S = I
Q = Q1 = Q2 = Q3 = … = Qn-1 = Qn = Q,
|
(
|
0
|
0
|
)(
|
0
|
0
|
) = (
|
0
|
0
|
) =Q
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
S = S1 = S2 = S3 = … = Sn-1 = Sn = S,
|
(
|
1
|
0
|
)(
|
1
|
0
|
) = (
|
1
|
0
|
)=S
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Приклад 2. Зведення діагональної матриці до одиничної матриці.
|
(
|
а
|
0
|
)(
|
0
|
b
|
) = (
|
0
|
аb
|
)
|
|
0
|
а
|
b
|
0
|
аb
|
0
|
|
a(
|
1
|
0
|
)b(
|
0
|
1
|
) = ab(
|
0
|
1
|
)
|
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
Приклад 3.
|
(
|
а
|
0
|
)(
|
0
|
y
|
) = (
|
0
|
аy
|
)
|
|
0
|
b
|
x
|
0
|
bx
|
0
|
Запитання 1. Чому не можна записати одиничну матрицю, розміром 2x2,
у
вигляду добутку двох прямокутних матриць
розмірами 2x1(вектор-стовпчик) та 1x2(вектор-рядок)?
Запитання 2. Як можна записати одиничну матрицю,
розміром 2x2, у вигляду
добутку нижньої трикутної матриці розміром
2x2 та верхньої
трикутної матриці розміром 2x2?
Запитання 3. Нехай С – квадратна матриця
|
С=(
|
0
|
1
|
)
|
|
-1
|
0
|
Чи
вірно, що
С2n = С-2n =
(-1)nІ,
С2n-1 = С-2n-1 = (-1)nС,
де І – одинична
квадратна матриця розміром 2х2?
