Теорія матриць для школярів

субота, 7 лютого 2015 р.

Метод Гауса для системи лінійний рівнянь

Задача про оптимальне використання ресурсів

пʼятниця, 6 лютого 2015 р.

Програмування операцій з квадратними масивами(матрицями) на мові Pascal

Програмування операцій з квадратними масивами(матрицями)

Program MATRIX; {Найменування програми}

Uses CRT;

var i1, i2, i3: integer; {Лічильник рядків}

j1, j2, j3: integer; {Лічильник стовпців}

operation: integer; {Варіант розвитку програми}

det: real; {Визначник} k: integer; {Робоча змінна}

{Масиви (матриці), що використовуються в програмі}

MAS1, {Матриця А} MAS2, {Матриця В} MAS3: array [1 .. 10,1 .. 10] of real; {Матриця С}

BEGIN {Початок програми}

WriteLn ('Що Ви бажаєте робити з матрицями?');

{Вибір користувачем варіанту розвитку програми}

WriteLn ('Якщо Ви бажаєте знайти визначник матриці, натисніть 1');

WriteLn ('Якщо Ви бажаєте знайти зворотну матрицю, натисніть 2');

WriteLn ('Якщо Ви бажаєте транспонувати матрицю, натисніть 3');

WriteLn ('Якщо Ви бажаєте скласти матриці, натисніть 4');

WriteLn ('Якщо Ви бажаєте відняти матриці, натисніть 5');

WriteLn ('Якщо Ви бажаєте перемножити матриці, натисніть 6');

ReadLn (operation); {Занесення обраного варіанту в пам'ять}

WriteLn ('Введіть кількість рядків матриці, не більше 10');

ReadLn (m1);

WriteLn ('Введіть кількість стовпців початкової матриці, не більше 10');

ReadLn (n1);

If ((1> n1) or (n1> 10) or (1> m1) or (m1> 10)) {Умови помилки}

then begin WriteLn ('ПОМИЛКА !!!'); end

else begin WriteLn ('Введіть початкову матрицю'); {Введення вихідної матриці}

for i1: = 1 to m1 do

for j1: = 1 to n1 do Read (MAS1 [i1, j1]); end;

for i1: = 1 to m1 do {Відповідь вихідної матриці} begin

for j1: = 1 to n1 do Write (MAS1 [i1, j1]); WriteLn; end;

Case operation of {Оператор вибору «operation»}

1: begin {Визначник}

if (m1 <> n1) then writeLn ('ПОМИЛКА !!!') {Умова помилки} else

begin {Формула визначника}

det: = (MAS1 [1,1] * MAS1 [2,2] * MAS1 [3,3]+ MAS1 [2,1] * MAS1 [3,2] * MAS1 [1,3] + MAS1 [1,2] * MAS1 [2,3] * MAS1 [3,1])- (MAS1 [3,1] * MAS1 [2,2] * MAS1 [1,3]+ MAS1 [3,2] * MAS1 [2,3] * MAS1 [1,1]+ MAS1 [2,1] * MAS1 [1,2] * MAS1 [3,3]);

WriteLn ('Визначник матриці розміром 3х3, det =', det); {Висновок визначника} end; end;

2: begin {обернена матриця}

if (m1 <> n1) then WriteLn ('ПОМИЛКА !!!') {Умова помилки} else begin {Визначник}

det: = (MAS1 [1,1] * MAS1 [2,2] * MAS1 [3,3] + MAS1 [2,1] * MAS1 [3,2] * MAS1 [1,3]+ MAS1 [1,2] * MAS1 [2,3] * MAS1 [3,1])- (MAS1 [3,1] * MAS1 [2,2] * MAS1 [1,3]+ MAS1 [3,2] * MAS1 [2,3] * MAS1 [1,1]+ MAS1 [2,1] * MAS1 [1,2] * MAS1 [3,3]);

if det = 0 then WriteLn ('ПОМИЛКА !!!') {Умова помилки} else begin {Союзна матриця}

for i1: = 1 to m1 do

for j1: = 1 to n1 do MAS2 [i1, j1]: = MAS1 [j1, i1]; {Підсумкова формула}

for i1: = 1 to m1 do

for j1: = 1 to n1 do MAS3 [i1, j1]: = (1/det) * MAS2 [i1, j1];

WriteLn; WriteLn ('обернена матриця:');

for i1: = 1 to m1 do begin {Відповідь оберненої матриці}

for j1: = 1 to n1 do

Write (MAS3 [i1, j1]); WriteLn; end; end; end; end;

3: begin {Транспонування матриці}

for i1: = 1 to m1 do

for j1: = 1 to n1 do MAS2 [i1, j1]: = MAS1 [j1, i1]; {Формула}

WriteLn ('Транспонована матриця:');

for i1: = 1 to m1 do begin {Відповідь транспонованої матриці}

for j1: = 1 to n1 do

Write (MAS2 [i1, j1]); WriteLn; end; end;

4,5: begin {Додавання / віднімання матриць} {Введення другої матриці}

WriteLn ('Введіть кількість рядків другої матриці'); ReadLn (m2);

Writeln ('Введіть кількість стовпців другого матриці'); ReadLn (n2);

If (n2 <> n1) or (m2 <> m1) then WriteLn ('OSHIBKA !!!') {Умова помилки} else begin

WriteLn ('Введіть другу матрицю');

for i1: = 1 to m1 do

for j1: = 1 to n1 do

Read (MAS2 [i1, j1]); end;

for i1: = 1 to m1 do {Вигляд другої матриці} begin

for j1: = 1 to n1 do Write (MAS2 [i1, j1]); WriteLn; end;

if operation = 4 then k: = 1;

if operation = 5 then k: = -1;

for i1: = 1 to m1 do

for j1: = 1 to n1 do

MAS3 [i1, j1]: = MAS1 [i1, j1] + k * MAS2 [i1, j1]; {Підсумкова формула}

writeln ('Сума / різниця:');

for i1: = 1 to m1 do begin

for j1: = 1 to n1 do Write (MAS3 [i1, j1]); WriteLn; end; end;

6: begin {Множення матриць} {Введення другого матриці}

WriteLn ('Введіть кількість рядків другий матриці'); ReadLn (m2);

Writeln ('Введіть кількість стовпців другого матриці'); ReadLn (n2);

If ((1> = m2) or (m2> = 10) or (1> = n2) or (n2> = 10) {Умова помилки}

or (n2 <> m1)) then WriteLn ('ПОМИЛКА !!!') else begin

WriteLn ('Введіть другу матрицю');

for i2: = 1 to m2 do

for j2: = 1 to n2 do Read (MAS2 [i2, j2]); end;

for i2: = 1 to m2 do begin {Вигляд другої матриці}

for j2: = 1 to n2 do Write (MAS2 [i2, j2]); WriteLn; end;

m3: = m1; n3: = n2;

for i3: = 1 to m3 do

for j3: = 1 to n3 do begin MAS3 [i3, j3]: = 0;

for i2: = 1 to m2 do {Підсумкова формула}

MAS3 [i3, j3]: = MAS3 [i3, j3] + MAS1 [i3, i2] * MAS2 [i2, j3];

end;

begin {Вигляд добутку матриць}

writeln;

writeln ('Добуток двох матриць:');

for i3: = 1 to m1 do begin

for j3: = 1 to n2 do Write (MAS3 [i3, j3]);

WriteLn;

end; end; end; end; {End Case}

END. {Кінець програми}

четвер, 5 лютого 2015 р.

Математичні ігри та сайти для англомовних школярів

математичні ігри та сайти для англомовних школярів

http://www.topmarks.co.uk/maths-games/11-14-years/number

середа, 28 січня 2015 р.

Вища алгебра для "просунутих" шанувальників математики

К вашему вниманию представляем курс обучающих уроков Алгебры.

субота, 4 жовтня 2014 р.

Про математиків та матем. дискусії

Теорема Морли

16 Сентябрь 2014, 21:51

Фрэнк Морли (1860–1937) — английский математик, известный своими работами по алгебре и геометрии. Морли любил придумывать задачи, и за более чем 50 лет своей работы со времени окончания Кембриджского университета он опубликовал более 60 задач в Educational Times. Большинство этих задач — геометрические. Морли очень хорошо играл в шахматы. Одни раз он даже выиграл у чемпиона мира по шахматам Эмануэля Ласкера (примеч. Интересно, что Ласкер тоже занимался математикой, и одна из теорем названа его именем — теорема Ласкера — Нётер). Морли внес огромный вклад в развитие математики в США. В течение 30 лет он был редактором журнала American Journal of Mathematics, работал и в журнале Bulletin of the American Mathematical Society, в 1919–20 годах был президентом Американского математического общества.

Самым известным результатом Фрэнка Морли является теорема о трисектрисах треугольника, носящая его имя.

Сначала определим трисектрису, а затем докажем теорему. Читать полностью ‘Теорема Морли’ »

Теги: геометрия, планиметрия
Рубрика: Статьи по математике | Ваш отзыв

Теорема Содди

2 Апрель 2014, 15:48

Фредерик Содди (1877—1956) — английский химик, изучавший проблемы радиоактивности совместно с Резерфордом, выдвинувший теорию изотопов, удостоенный Нобелевской премии по химии 1921 г. за вклад в теорию строения атома. Кроме химии, Ф. Содди интересовался экономическими, социальными и политическими теориями, написал несколько книг на эти темы, а также занимался некоторыми математическими задачами.

Следующая довольно красивая теорема, долгое время считавшаяся гипотезой, принадлежит именно ему, хотя доказал ее Коксетер.

Теорема Содди. Пусть три окружности с радиусами a,b,c

касаются внешним образом. Пусть

— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом, а

— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внутренним образом. Тогда имеют место равенства

$\displaystyle2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2,$

$\displaystyle 2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{R^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{R}\right)^2.$

Читать полностью ‘Теорема Содди’ »

Теги: геометрия, планиметрия, средняя и старшая школа

Бесконечность или -1/12?

20 Февраль 2014, 8:08

Дэвид Берман, Марианна Фрейбергер

Недавно обсуждался очень странный результат. Утверждается, что, когда вы сложите все натуральные числа

$1 +2 +3 +4 + \ldots$ ,

то сумма будет равна -1/12

. Данная идея демонстрируется в видео Numberphile, где утверждается, что результат доказан, а также рассказывается, что он повсеместно используется в физике. Данная идея так поразила людей, что она даже попала в “Нью-Йорк Таймс’’. Итак, что же все это значит? Читать полностью ‘Бесконечность или -1/12?’ »

Теги: мат. анализ, математика, ряды

Теорема (звезда Давида)

2 Февраль 2014, 7:52

Эта теорема представляет собой одно из арифметических свойств биномиальных коэффициентов, или чисел ${\sf C}_n^k$ .

Теорема (звезда Давида). Наибольший общий делитель чисел ${\sf C}_{n-1}^k,{\sf C}_{n}^{k-1}$ и ${\sf C}_{n+1}^{k+1}$ равен наибольшему общему делителю чисел ${\sf C}_{n-1}^{k-1},{\sf C}_{n}^{k+1}$ и ${\sf C}_{n+1}^{k}$ .

Чтобы понять, почему эта теорема называется звездой Давида, посмотрите на следующий рисунок. Наибольший общий делитель чисел, стоящих в синих углах и наибольший общий делитель чисел, стоящих в фиолетовых углах, равны. Вместе эти два треугольники образуют звезду Давида.

Например, если n=4

, теорема утверждает, что наибольший общий делитель ${\sf C}_3^2,{\sf C}_4^1$ и ${\sf C}_5^3$ равен наибольшему общему делителю ${\sf C}_3^1,{\sf C}_4^3$ и ${\sf C}_5^2$ . Очевидно, это не самый интересный пример, потому что при упрощении обоих НОД получаем НОД (3,4,10)

, который равен

. Давайте рассмотрим другой пример. Читать полностью ‘Теорема (звезда Давида)’ »

Теги: алгебра, средняя и старшая школа

Аксиома Паша

29 Ноябрь 2013, 23:26

Мориц Паш родился в 1843 году в Бреслау (Германия), ныне город Вроцлав в Польше. В 1860 году закончил гимназию в Бреслау и поступил там же в университет, где учился у Генриха Шрётера, Фердинанда Йоахимшталя и Рудольфа Липшица. В 1865 году он закончил университет, получив докторскую степень. После этого он учился в университете Берлина у Вейерштрасса и Кронекера. В 1866 году умер его отец, и Паш должен был оставить работу над диссертацией, чтобы помочь семье. Однако в 1870 году он представил свою диссертацию в университет Юстуса Либиха в Гессене. В 1873 году он стал там внештатным профессором, а через два года — профессором, после того как отверг аналогичное предложение в Бреслау. Работал Паш над основаниями геометрии. Он также принимал участие в управлении университетом. Уйдя в отставку в 1911 году, он продолжал жить в Гессене. Умер Мориц Паш в 1930 году. Читать полностью ‘Аксиома Паша’ »

Теги: геометрия, планиметрия

Теория графов и коммуникация

1 Ноябрь 2013, 21:36

Джон Робинсон Пирс

В начале 70-х годов прошлого века Джон Пирс предложил коммуникационную сеть, состоящую из соединенных между сосбой в различных точках направленных циклов. Чтобы сообщение попало из исходной точки одного цикла в точку назначения на другом цикле, необходимо было понять, в каких точках нужно переходить на следующие циклы.

Рональд Грэм и Генри Поллак предложили считать каждый цикл вершиной графа, которую отмечали последовательностью символов из алфавита $\{0,1,*\}$ таким образом, чтобы расстояние Хэмминга между строками соответствовало расстояниям в графе. Тогда переходить на другой цикл следовало, когда адрес нового цикла имел меньшее расстояние Хэмминга до точки назначения. Читать полностью ‘Теория графов и коммуникация’ »

Теги: задача, линейная алгебра, приложения, теория графов

Линейное представление НОД. Простые и составные числа

5. Нуль в нулевой степени

6. Факториал нуля

7. Один или два корня

8. Равносторонний треугольник

9. Трапеция и параллелограмм

10. Параллельные прямые